Построения различных классов конечных недезарговых плоскостей трансляций и квазиполей тесно связаны и с середины прошлого века систематически опираются на компьютерные вычисления. Мы находим структурное описание полуполей порядка 32 и квазиполей порядка 16, соответствующих плоскостей трансляций.
Известно, что проективные плоскости трансляций любого примарного порядка pn с простым p удается построить, координатизируя их линейным пространством W размеpности n над простым полем из p элементов и характеризуя регулярным множеством, позволяющим снабдить W структурой квазиполя (возможно наперед заданным). Плоскость называют полуполевой, если W — полуполе в случае поля W плоскость дезаргова. Изоморфность полуполевых плоскостей равносильна изотопности их полуполей.
Строение квазиполей порядка pn, в отличие от конечных полей, изучено мало даже при небольших простых или близких к простым n. Клейнфилд в 1960 году классифицировал, с точностью до изоморфизмов, квазиполя с ядром порядка 4 и все полуполя порядка 16. Классификацию всех плоскостей трансляций порядка 16 и 32 позднее завершили Демпволф и др. С помощью регулярных множеств недезарговых плоскостей удается построить 5 полуполей порядка 32 и 7 квазиполей порядка 16, исчерпывающих, с точностью до изотопизмов, все полуполя порядка 32 и, соответственно, квазиполя порядка 16. Основные результаты статьи перечисляют для них в случае полуполей (в случае квазиполей частично) ядра и все подполя, а также введенные порядки элементов и спектры соответствующих луп.

1. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре / А. Г. Курош. - М.: Наука, 1973.

2. Левчук В. М. Перечисления полуполевых плоскостей и латинских прямоугольников / В. М. Левчук, С. В. Панов, П. К. Штуккерт // Механика и моделирование : сб. науч. ст. - Красноярск : СибГАУ,2012. - С. 56-70.

3. Подуфалов Н. Д. О функциях на линейных пространствах, связанных с конечными проективными плоскостями / Н. Д. Подуфалов // Алгебра и логика. - 2002. - Т. 41, № 1. - С. 83-103.

4. Холл М. Теория групп / М. Холл. - М. : ИЛ, 1962.

5. Штуккерт П. К. О свойствах полуполей четного порядка / П. К. Штуккерт // Материалы Междунар. науч. конф. по алгебре "Мальцевские чтения - 2013": электрон. сб. Новосибирск: НГУ, 2013. - С. 114.

6. Albert A. A. Finite division algebras and finite planes. / A. A. Albert // Proc. Sympos. Appl. Math. - Vol.10. - Amer. Math. Soc., Providence, R.I. - 1960. - P. 53-70.

7. Andre J. Uber nicht-Desarguesche Ebenen mit transitiver Translationgruppe / J. Andre // Math. Z. - 1954. - Vol. 60. - P. 156-186.

8. Dempwolff U. The Classification of the translation planes of order 16, I / U. Dempwolff, A. Reifart // Geom. Dedicata. - 1983. - Vol. 15. - P. 137-153.

9. Dempwolff U. File of Translation Planes of Small Order // www.mathematik.uni-kl.de/-dempw/dempw_-Plane.html.

10. Dickson L. E. Linear algebras in which division is always uniquely possible / L. E. Dixon // Trans. Amer. Math. Soc. - 1906. - Vol. 7. - P. 370-390.

11. Hughes D. R. Projective planes / D. R. Hughes, F. C. Piper. - Springer - Verlag : New-York Inc., 1973.

12. Kleinfeld E. Techniques for enumerating Veblen-Wedderburn systems / E. Kleinfeld // J. Assoc. Comput. Mach. - 1960. - Vol. 7. - P. 330-337.

13. Knuth D.E. Finite semifields and projective planes / D. E. Knuth // J. Algebra. - 1965. - Vol. 2. - P. 182-217.

14. Lorimer P. A Projective Plane of Order 16 / P. Lorimer // J. Combinatorial theory (A). - 1974. - Vol. 16. - P. 334-347.

15. Liineburg H. Translation planes / H. Liineburg. - Springer - Verlag : Berlin Heidelberg New-York Inc., 1980.

16. Rockenfeller R. Translationsebenen der Ordnung 32 / R. Rockenfeller // Diploma Thesis, FB Mathematik, University of Kaiserslautern, 2011.

17. Veblen O. Non-Desarguesian and Non-Pascalian Geometries / O. Veblen, J.H. Maclagan-Wedderburn // Trans. Amer. Math. Soc. - 1907. - Vol. 8, N 3. - P. 379-388.

18. Walker R. J. Determination of Division Algebras with 32 Elements / R. J. Walker // Proc. Symp. Appl. Math. XV, Amer. Math. Soc. - 1962. - P. 83-85.

19. Wesson J. R. On Veblen-Wedderburn Systems / J. R. Wesson // The Amer. Math. Monthly. - 1957. - Vol. 64, N 9. - P. 631-635.