Рассматриваются предельные модели, т. е. счетные модели, которые представляются в виде объединения элементарных цепей простых моделей над конечными множествами, но не изоморфные никакой простой модели над конечным множеством. Любая счетная модель малой теории (т. е. теории со счетным числом типов) является либо простой над некоторым кортежем, либо предельна. При этом любая предельная модель является либо предельной над типом, т. е. представляется в виде объединения элементарной цепи попарно изоморфных простых моделей над реализациями некоторого фиксированного типа, либо предельна над некоторой последовательностью попарно различных типов, над которыми простые модели не изоморфны.

В работе охарактеризовано свойство существования предельной модели над последовательностью типов в терминах отношений изолированности и полуизолированности: показано, что существует предельная модель над последовательностью типов тогда и только тогда, когда имеется бесконечно много несимметричным переходов между типами по отношению изолированности или, что эквивалентно, по отношению полуизолированности. Эти критерии обобщают соответствующие критерии для предельных моделей над типом. В терминах отношений изолированности и полуизолированности охарактеризовано условие существования предельной модели над подпоследовательностью данной последовательности типов. Доказано, что если теория имеет предельную модель над типом, то ранг Морли этой теории бесконечен. При этом некоторое ограничение теории на подходящую конечную сигнатуру имеет бесконечный ранг Морли. Приведенная оценка является точной: существует ω-стабильная теория, имеющая предельную модель над типом и ранг Морли ω.

1. Судоплатов С. В. Проблема Лахлана / С. В. Судоплатов. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. – 336 с.

2. Судоплатов С. В. Гиперграфы простых моделей и распределения счетных моделей малых теорий / С. В. Судоплатов // Фундаментальная и прикладная математика. – 2009. – Т. 15, № 7. – С. 179–203.

3. Baizhanov B. S. Conditions for non-symmetric relations of semi-isolation / B. S. Baizhanov, S. V. Sudoplatov, V. V. Verbovskiy // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2012. – Vol. 9. – P. 161–184.

4. Судоплатов С. В. Полные теории с конечным числом счетных моделей. I / С. В. Судоплатов // Алгебра и логика. – 2004. – Т. 43, № 1. – С. 110–124.

5. Baldwin J. T. On strongly minimal sets / J. T. Baldwin, A. H. Lachlan // J. Symbolic Logic. — 1971. — Vol. 36, N 1. — P. 79–96.

6. Pillay A. A note on one-based theories / A. Pillay. — Notre Dame : University of Notre Dame, 1989. — 5 p. — (Preprint).

7. Судоплатов С. В. О мощных типах в малых теориях / С. В. Судоплатов // Сиб. мат. журн. – 1990. – Т. 31, № 4. —C. 118–128.

8. Судоплатов С. В. О предельных моделях над типом в классе ω-стабильных теорий / С. В. Судоплатов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – Т. 3, № 4. – С. 114–120.

9. Pillay A. Countable models of stable theories / A. Pillay // Proc. Amer. Math. Soc. – 1983. – Vol. 89, N 4. – P. 666–672.

10. Casanovas E. The number of countable models / E. Casanovas. – Barcelona : University of Barcelona, 2012. – 19 p. – (Preprint).

11. Sudoplatov S. V. On Rudin–Keisler preorders in small theories / S. V. Sudoplatov // Algebra and Model Theory 8. Collection of papers / eds.: A. G. Pinus, K. N. Ponomaryov, S. V. Sudoplatov and E. I. Timoshenko. – Novosibirsk : NSTU,2011. – P. 94–102.

12. Kim B. On the number of countable models of a countable supersimple theory / B. Kim // J. London Math. Soc. – 1999. – Vol. 60, N 2. – P. 641–645.

13. Tanovic P. Theories with constants and three countable models / P. Tanovic // Archive for Math. Logic. – 2007. – Vol. 46, N 5–6. – P. 517–527.

14. Tanovic P. Asymmetric RK-minimal types / P. Tanovic // Archive for Math. Logic. – 2010. – Vol. 49, N 3. – P. 367–377.