рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2024. Том 49

Оценки кусочно-линейной аппроксимации производных функций классов Соболева

Автор(ы)
В. А. Клячин1,2

1Волгоградский государственный университет, Волгоград, Российская Федерация

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Рассматривается задача оценки погрешности вычисления градиента функций классов Соболева при кусочно-линейной аппроксимации на триангуляциях. Традиционно подобного рода задачи рассматриваются для непрерывно дифференцируемых функций. При этом в соответствующих оценках отражается как класс гладкости функций, так и качество симплексов триангуляции. Однако в задачах обоснования существования решения вариационной задачи нелинейной теории упругости возникают условия на допустимые деформации в терминах обобщенных производных. Поэтому для численного решения указанных задач требуются условия обеспечивающие необходимую аппроксимацию производных непрерывных функций классов Соболева. Получена интегральная оценка указанной погрешности для непрерывно дифференцируемых функций в терминах норм соответствующих пространств для функций, которые отражают, с одной стороны, качество триангуляции полигональной области, а с другой стороны, класс функций с обобщенными производными. Последнее выражено в терминах мажоранты модуля непрерывности градиента. Для получения окончательной оценки доказана возможность предельного перехода по норме пространства Соболева.
Об авторах
Клячин Владимир Александрович, д-р физ.-мат. наук, проф., Волгоградский государственный университет, Волгоград, 400062, Российская Федерация, klchnv@mail.ru
Ссылка для цитирования
Клячин В. А. Оценки кусочно-линейной аппроксимации производных функций классов Соболева // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 49. C. 78–89. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.49.78
Ключевые слова
триангуляция, триангуляция Делоне, кусочно-линейная аппроксимация, приближение градиента, численные методы
УДК
514.174.3 + 519.652
MSC
65D25, 65D05, 41A05
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.49.78
Литература
  1. Водопьянов С. К., Молчанова А. О. Вариационные задачи нелинейной теории упругости в некоторых классах отображений с конечным искажением // Доклады Академии наук. 2015. Т. 465, № 5. С. 523–526. https://doi.org/10.7868/S086956521535008X
  2. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Волгоград : ПЛАТОН, 1997.
  3. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М. : Наука, 1989.
  4. Клячин В. А. О многомерном аналоге примера Шварца // Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 4. С. 41–48. https://doi.org/10.4213/im6845
  5. Клячин В. А., Кузьмин В. В., Хижнякова Е. В. Метод триангуляции для приближенного решения вариационных задач нелинейной теории упругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 45. С. 55—73. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.45.54
  6. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксимационные свойства // Известия вузов. Математика. 2012. № 1. С. 31–39. https://doi.org/10.3103/S1066369X12010045
  7. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78). С. 51–55.
  8. Миклюков В. М. О некоторых признаках существования полного дифференциала // Сибирский математический журнал. 2010. Т. 51, № 4. С. 805–814. https://doi.org/10.1007/s11202-010-0065-9
  9. Миклюков В. М. Некоторые признаки существования полного дифференциала в точке // Математический сборник. 2010. Т. 201, № 8. С. 45–62. https://doi.org/10.4213/sm7566
  10. Молчанова А. О. Вариационно-аппроксимативный подход к динамическим задачам теории упругости на новом классе допустимых деформаций // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2016. Т. 16, № 5. С. 55-–60. https://doi.org/10.17377/PAM.2016.16.305
  11. Скворцов А. В., Мирза Н. С. Алгоритмы построения и анализа триангуляции. Томск : Изд. Том. ун-та, 2006.
  12. Субботин Ю. Н. Погрешность многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации, Теория функций и смежные вопросы анализа // Труды конференции по теории функций, посвященной 80-летию академика Сергея Михайловича НИКОЛЬСКОГО. Днепропетровск, 29 мая–1 июня 1985 г / Тр. МИАН СССР. М. : Наука, 1987. Т. 180. С. 208–209.
  13. Субботин Ю. Н. Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции // Сборник трудов Всесоюзной школы по теории функций. Душанбе, август 1986 г. / Тр. МИАН СССР. М. : Наука, 1989. Т. 189. C. 117–137.
  14. Субботин Ю. Н. Погрешность аппроксимации интерполяционными многочленами малых степеней на n-симплексах // Математические заметки. 1990. Т. 48, № 4. C. 88–99. https://doi.org/10.1007/BF01139604
  15. Shewchuk J. R. What is a Good Linear Element? Interpolation, Conditioning, and Quality Measures Department of Electrical Engineering and Computer Sciences University of California at Berkeley. Berkeley, CA 94720, 2002. Preprint. 
  16. Vodopyanov S. K., Molchanova A. Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity // Calculus of Variations and PDE. 2020. Vol. 59, N 17. P. 1–25. https://doi.org/10.1007/s00526-019-1671-4

Полная версия (русская)