Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Некоторые проблемы теории оптимального управления
Традиционно в математической теории оптимального управления основное внимание уделяется методам исследования готовых математических постановок задач той или иной сложности. Поскольку все внимание сосредоточено на решении задачи, то вопрос об адекватности используемой математической модели реальному процессу обычно не рассматривается. Сами математические формулировки задач по их практическому содержанию и использование полученных решений, как правило, не обсуждаются, что усугубляет взаимонепонимание теоретиков и практиков и приводит к обесцениванию теоретических результатов. Стандартные предположения о переменных, фигурирующих в постановках задач, полученные путем неизбежной идеализации свойств реальных объектов, не соответствуют поведению и характеристикам этих объектов, для которых строится та или иная математическая модель.
Математическая идеализация свойств реального объекта по существу — упрощение реальной задачи с целью ее эффективного исследования математическими методами. С этой точки зрения, решение формальной задачи — заведомо приближенное решение реальной. Сами границы между реальной и формальной задачами условны, как границы между более подробной и менее подробной моделями реального объекта. Возникает вопрос, нельзя ли упростить готовую формальную задачу по принципу исключения возможных пассивных дифференциальных связей, используемому в теории вырожденных задач? Один из ответов на него дает магистральный подход к поиску приближенных глобально оптимальных решений. Однако обсуждение подобных методологических проблем, затрагивающих основы теории оптимального управления, практически в литературе отсутствует.
Цель данной работы — привлечь внимание исследователей к указанным проблемам и предложить возможное решение одной из них.
В статье показано, что задача оптимального управления для дифференциальной системы общего вида не имеет решения в классическом смысле применительно к моделям реальных объектов, учитывающих непрерывность протекающих в них процессов, но традиционное решение может рассматриваться как приближенное решение магистрального типа меньшего порядка, для «реальной» задачи. Затрагивается связанная с этим проблема существования решений в вариационном исчислении и теории оптимального управления. Приводятся методические и содержательные примеры, иллюстрирующие полученные результаты и выводы.
1. Гурман В. И. Преобразования дифференциальных управляемых систем для поиска приближенно-оптимального управления / В. И. Гурман, И. В. Расина, И. С. Гусева // Программные системы: теория и приложения : электрон. науч. журн. – 2014. – Т. 5, №4(22). – С. 123—157.
2. Гурман В. И. Практические методы оптимизации / В. И. Гурман, Е. А. Трушкова. – Переславль-Залесский : УГП им. А. К. Айламазяна, 2009. – 160 с.
3. Gurman V. I. Degenerate Problems of Optimal Control / V. I. Gurman. – Moscow: Nauka, 1977.
4. Gurman V. I. Turnpike Solutions in the Procedures Seeking Optimal Controls / V. I. Gurman // Automation and Remote Control. – 2003. – Vol. 64, N 3. – P. 399–408.
5. Gurman V. I. Models of Natural Resource Control / V. I. Gurman. – Moscow: Nauka, 1981.
6. On Certain Approaches to Optimization of Control Processes. I / V. I. Gurman, I. V. Rasina, O. V. Fesko, I. S. Guseva // Automation and Remote Control. – 2016. – Vol. 77, N 8. – P. 1370–1385.
7. On Certain Approaches to Optimization of Control Processes. II / V. I. Gurman, I. V. Rasina, O. V. Fesko, I. S. Guseva // Automation and Remote Control. – 2016. – Vol. 77, N 9. – P. 1544–1556.
8. Gurman V. I. Turnpike Solutions in Optimization of Regional Development Strategies / V. I. Gurman, M. Y. Ukhin // Automation and Remote Control. – 2004. – Vol. 65, N 4. – P. 603–611.
9. Zelikin M.I. Optimal Chattering Feedback Control / M. I. Zelikin, V. F. Borisov // Journal of Mathematical Sciences. – 2003. – Vol. 114, N 3. – P. 1227–1344.
10. Krotov V.F. Methods and Problems of Optimal Control / V. F. Krotov, V. I. Gurman. – Moscow : Nauka, 1973.
11. Krotov V.F., Bukreev V.Z., Gurman V.I. New Methods of Variational Calculus in the Flight Dynamics / V.F. Krotov, V.Z. Bukreev, V.I. Gurman. – Moscow: Mashinostroenie, 1969.
12. Letov A. M. Analytic Controller Design. II / A. M. Letov // Automation and Remote Control. – 1960. – Vol. 21, N 5. – P. 389–393.
13. The Mathematical Theory of Optimal Processes / L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, E. F. Mishchenko. – Moscow : Nauka, 1983. – 392 p.
14. Stoleryu L. Equilibrium and Economical Growth / L. Stoleryu. – Moscow : Statistics, 1974. – 474 p.
15. Gurman V. I. The Extension Principle in the Problems of Sustainable Development / V. I. Gurman. – Moscow : Fizmatlit, 2005. – 128 p.
16. Gurman V. I. Principle of Expansion in Modeling and Optimal Control: Case Study for Helicopter Maneuvering / V. I. Gurman, L. N. Nikiforova // Proceeding of 10-th Workshop IFAC. Haifa, Izrael, 19—21 December, 1995. – London : Elsevier,1996.
17. McKenzie L. Turnpike Theory / L. McKenzie // Econometrica. – 1976. – Vol. 44, Nov. – P. 841–866.
18. Samuelson P. A. A Catenary Turnpike Theorem Involving Consumption and the Golden Rule / P. A. Samuelson // American Economic Review. – 1965. – Vol. 55. – P. 486–496.
19. Samuelson P. A. Maximum Principles in Analytical Economics / P. A. Samuelson // American Economic Association, American Economic Review. – 1972. – Vol. 62(3), June. – P. 249–262.
20. Trelat E. Optimal control and Applications to Aerospace: Some Results and Challenges / E. Trelat // Springer US. Journal of Optimization Theory and Applications. – 2012. – Vol. 154, N 3. – P. 713–758.
21. Trelat E. The Turnpike Property in Finite-Dimensional Nonlinear Optimal Control / E. Trelat, E. Zuazua // J. Differential Equations. – 2015. – Vol. 258. – P. 81–114.
22. Zaslavski A. J. Turnpike Properties in the Calculus of Variations and Optimal Control / A. J. Zaslavski. – New York : Springer, 2005. – 407 p.