Ряд важных прикладных задач из химической кинетики, биофизики, теории электрических схем описываются системами жестких обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Одним из подходов для их численного решения являются одношаговые методы Рунге – Кутта. Для задач небольшой размерности применяют неявные методы Рунге – Кутта. Среди таких алгоритмов выделяют так называемые A- и L-устойчивые. Как правило, L-устойчивые гораздо лучше справляются с данными задачами. А именно, при реализации L-устойчивых методов шаг интегрирования можно выбрать значительно большим, чем при реализации A-устойчивых методов. Самым простым и хорошо себя зарекомендовавшим из данных алгоритмов является неявный метод Эйлера.

В данной статье приведен пример линейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров, выбирая которые можно получить с коль угодно жесткую задачу. Показано, что при определенном выборе этих параметров неявная схема Эйлера оказывается неэффективной. Данный алгоритм будет устойчив только при существенном ограничении на шаг интегрирования. Построение данного примера основано на некоторых фактах из теории численного решения дифференциально-алгебраических уравнений высокого индекса. Приведены детальные выкладки.

1. Арушанян О. Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране / О. Б. Арушанян, С. Ф. Залеткин. – М. : Изд-во Моск. ун-та. – 336 с.

2. Деккер К. Устойчивостьм етодов Рунге – Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. – М. : Мир, 1988. – 332 с.

3. Новиков Е. А. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников. – Новосибирск : НГТУ, 2012. – 450 с.

4. Ракитский Ю. В. Численные методы решения жестких систем / Ю. В. Ракитский, С. М. Устинов, И. Г. Черноруцкий. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 208 с.

5. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи : пер. с англ. / Э. Хайрер, Г. Ваннер. – М. : Мир, 1999. – 685 с., ил.

6. Холл Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Дж. Холл, Дж. Уатт. – М. : Мир, 1979. – 312 с.

7. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром : монография / В. Ф. Чистяков. – Новосибирск : Наука, 1996. – 278 с.

8. Чистяков В. Ф. О сохранении типа устойчивости разностных схем при решении жестких дифференциально-алгебраических уравнений / В. Ф. Чистяков // Сиб. журн. вычисл. математики. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 443–456.

9. Butcher J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations / J. C. Butcher. – Wiley, 2008.

10. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations / G. Dahlquist // Math. Scand. – 1956. – Vol. 4. – P. 33–53.

11. M¨arz R. Differential-algebraic systems anew / R. M¨arz // Appl. Numer. Math. – 2002. – Vol. 42. – P. 315–335.