Рассматриваются линейные стационарные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной искомой вектор-функции. Такие системы называются системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ).Мерой неразрешенности ДАУ относительно производных служит целочисленная величина, называемая индексом. Анализ проводится в предположении существования структурной формы с разделенными дифференциальной и алгебраической подсистемами. Эта структурная форма эквивалентна искомой системе в смысле решений, а оператор, преобразующий исходную систему ДАУ к этой структурной форме, обладает левым обратным оператором. Построение структурной формы носит конструктивный характер и не использует замену переменных, при этом автоматически решается проблема согласования начальных условий. Доказано, что в стационарном случае достаточным условием существования структурной формы является регулярность матричного пучка системы. Показана связь между индексом матричного пучка, порядком линейного дифференциального оператора, преобразующего исходные ДАУ к структурной форме и индексом неразрешенности ДАУ. Этот подход использует понятие r-продолженной системы, где r — индекс неразрешенности. Необходимым и достаточным условием существования структурной формы является наличие в матрице, описывающей r-продолженную систему неособенного минора порядка n(r + 1), где n — размерность рассматриваемой системы ДАУ. В статье исследуется проблема асимптотической устойчивости ДАУ в условиях неопределенности, задаваемой с помощью матричной нормы. Возмущение, привносимое в систему ДАУ, не нарушает ее внутренней структуры и тесно связано с расположением упомянутого минора в матрице, описывающей продолженную систему. Для систем индекса 1 и 2 получены достаточные условия робастной устойчивости. При получении результатов использовались значения для вещественного и комплексного радиусов устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Для иллюстрации полученных результатов рассмотрен пример.

MSC

34A09, 34D20, 37C75

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1988.

2. Поляк Б. Т. Робастная устойчивость и управление / Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков. – М. : Наука, 2002.

3. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука, 1980.

4. Щеглова А. А. Преобразование линейной алгебро-дифференциальной системы к эквивалентной форме / А. А. Щеглова // Тр. IX Междунар. Четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», 12–16 июня2007 г. – Иркутск : ИДСТУ СО РАН, 2007. – Т. 5. – С. 298–307.

5. Щеглова А. А. Существование решения начальной задачи для вырожденной линейной гибридной системы с переменными коэффициентами / А. А.Щеглова // Изв. вузов. Математика. – 2010. – № 9. – С. 57–70.

6. Byers R. On the stability radius oа a generalized state-space system / R. Byers, N. K. Nichols // Linear Algebra Appl. – 1993. – N 188–189. – P. 113–134.

7. Chyan C. J. On data-dependence of exponential stability and the stability radii for linear time-varying differential-algebraic systems / C. J. Chyan, N. Y. Du, V. H. Linh // J. Differ. Equ. – 2008. – N 245. – P. 2078–2102.

8. Du N. H. Stability radii for linear time-varying differential-algebraic equations with respect to dynamics perturbations / N. Y. Du, V. H. Linh // J. Differ. Equ. – 2006. – N 230. – P. 579–599.

9. Du N. H. Stability radii of differential-algebraic equations with structured perturbations / N. Y. Du // Syst. Control Lett. – 2008. – N 57. – P. 546–553.

10. Du N. H. Stability radius of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales / N. Y. Du, D. D. Thuan, N. C. Liem // Syst. Control Lett. – 2011. – N 60. – P. 596–603.