В статье рассматривается задача оптимального управления с начально-краевыми условиями, где связь между управлением и состоянием определена волновым уравнением, линейным по фазовой переменной, а функции, определяющие терминальную и интегральную части целевого функционала, также линейны по фазовой переменной. Постановка задачи допускает произвольную комбинацию условий первого, второго и третьего рода на левой и правой границе области определения. Волновое уравнение не содержит в правой части первых производных от фазовой переменной. Кроме того, дифференциальный оператор уравнения имеет специальный вид. Эти два обстоятельства позволяют построить интегральный эквивалент исходной задачи в виде системы из одного интегрального уравнения для функции, являющейся решением задачи. Полученный интегральный эквивалент положен в основу определения обобщенного решения рассматриваемой задачи при произвольном фиксированном допустимом управлении. Выведены две равноправных формулы приращения целевого функционала, которые не содержат остаточных членов и, в этом смысле, являются точными. На их основе может быть построен эффективный метод улучшения целевого функционала по аналогии с тем, как это сделано для задач оптимального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями.

1. Годунов С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. – М. : Наука, 1979. – 392 с.

2. Рождественский Б. Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б. Л. Рождественский, Н. А. Яненко. – М. : Наука, 1978. – 688 с.

3. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В. А. Срочко. – М. : Физматлит, 2000. –160 с.

4. Терлецкий В. А. Обобщенное решение нелинейного волнового уравнения с нелинейными граничными условиями первого, второго и третьего родов / В. А. Терлецкий, Е. А. Лутковская // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 3. – С. 403–415.

5. Терлецкий В. А. Обобщенное решение одномерных полулинейных гиперболических систем со смешанными условиями / В. А. Терлецкий // Изв. вузов. Математика. – 2004. – № 12. – C. 75–83.