В статье развивается метод исследования асимптотического поведения решений неавтономных систем, представленных в форме дифференциальных включений. Полученные результаты носят форму обобщений принципа инвариантности Ла-Салля.

Принципом инвариантности обычно называют теорему Ла-Салля для автономных дифференциальных уравнений, в которой (в рамках прямого метода Ляпунова) предполагается, что производная функции Ляпунова неположительна. Вывод, который из этого следует, состоит в том, что правые предельные множества решений принадлежат наибольшему инвариантному подмножеству из множества нулей производной функции Ляпунова. Ранее функции Ляпунова со знакопостоянной производной использовались в известной теореме Барбашина – Красовского об асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем. Эту теорему (вместе с теоремой Ла-Салля) также иногда характеризуют как принцип инвариантности.

Для неавтономных уравнений на этом пути возникают трудности, связанные с отсутствием свойств типа инвариантности правых предельных множеств решений, а также с описанием множества нулей производной функций Ляпунова. Попытки преодоления этих трудностей привели к понятию предельных дифференциальных уравнений, которые тем или иным способом строятся с использованием сдвигов (трансляций) правых частей исходных уравнений. Сейчас этот подход известен как метод предельных уравнений, который в сочетании с прямым методом Ляпунова позволяет эффективно исследовать асимптотическое поведение решений неавтономных систем. Эти исследования восходят к работам Дж. Селла и З. Артштейна по топологической динамике неавтономных дифференциальных уравнений. Распространение метода предельных уравнений на более широкие классы систем ставит прежде всего вопрос о структуре и методах построения предельных уравнений. Здесь этот вопрос решается применительно к дифференциальным включениям.

1. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. – М. : Наука, 1970. – 240 с.

2. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. – М. : КомКнига, 2005. – 215 с.

3. Куратовский К. Топология. Т. 1 / К. Куратовский. – М. : Мир, 1966. – 594 с.

4. Куратовский К. Топология. Т. 2 / К. Куратовский. – М. : Мир, 1969. – 624‘с.

5. Мартынюк А. А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений / А. А. Мартынюк, Д. Като, А. А. Шестаков. – Киев : Наукова думка, 1990. – 256 с.

6. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, М. Абетс, М. М. Лалуа. – М. : Мир, 1980. – 300 с.

7. Филиппов А. Ф. Диффенренциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. – М. : Наука, 1985. – 224 с.

8. Финогенко И. А. Предельные дифференциальные включения и принцип инвариантности для неавтономных систем / И. А. Финогенко // Сиб. мат. журн. – 2014. – Т. 20, № 1. – С. 271–284.

9. Финогенко И. А. Предельные функционально-дифференциальные включения и принцип инвариантности для неавтономных систем с запаздыванием / И. А. Финогенко // Докл. АН. – 2014. – Т. 455, № 6. – С. 637–639.

10. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equation / Z. Artstein // J. Differ. Equations. – 1977. – Vol. 23. – P. 216–223.

11. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equations / Z. Artstein // J. Differ. Equations. – 1977. Vol. 23. – P. 224–243.

12. Artstein Z. The limiting equations of nonautonomous ordinary differential equations / Z. Artstein // J. Differ. Equations. – 1977. – Vol. 25. – P. 184–202.

13. Artstein Z. Uniform asymptotic stability via limiting equations / Z. Artstein // J. Differ. Equations. – 1978. – Vol. 27. – P.172–189.

14. Davy J. L. Properties of solution set of a generalized differential equation / J. L. Davy // Bull. Austral. Math. Soc. – 1972. – Vol. 6. – P. 379–398.

15. Sell G. R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1, 2 / G. R. Sell // Trans. Amer. Vath. Soc. – 1967. – Vol. 22. – P. 241–283.