Одним из направлений исследования дискретных функций является исследование функциональных систем: множеств функций и множеств операторов, заданных над этими функциями.

В частности, активно изучаются функциональные системы, в которых в отличии от классических над множеством k-значных функций, рассматриваются обобщения функций k-значной логики: частичные функции, мультифункции и гиперфункции. Гиперфункции представляют собой функции, заданные на конечном множестве A и принимающие в качестве своих значений все непустые подмножества множества A относительно оператора суперпозиции.

Кроме оператора суперпозиции интерес представляют более сильные операторы замыкания, дающие нетривиальную классификацию функций. Например, для гиперфункций ранее получен критерий полноты для оператора разветвления по предикату равенства. Еще одним известным сильным оператором является оператор параметрического замыкания. Для него известны все двадцать пять замкнутых классов на множестве булевых функций.

В настоящей работе дается уточнение понятия оператора параметрического замыкания для множества гиперфункций и рассматривается действие этого оператора на множестве гиперфункций на двухэлементном множестве (гиперфункций ранга 2). Для него определены все тринадцать замкнутых классов, из которых классы S⁻ и L⁻ являются параметрически предполными. Построена решетка параметрически замкнутых классов гиперфункций ранга 2 и для них указаны параметрические базисы.

MSC

03B50, 08A99

1. Данильченко А. Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной логики / А. Ф. Данильченко // Алгебра и логика/ – 1977. – Т. 16, вып. 4. – С.397 –416.

2. Кузнецов А. В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости / А. В. Кузнецов // Логический вывод. – М. : Наука, 1979. – С. 5–33.

3. Ло Джукай. Максимальные замкнутые классы в множестве частичных функций многозначной логики // Кибернетический сборник. Новая серия. – М. : Мир, 1988. – Вып. 25. – С. 131–141.

4. Ло Джукай. Теория полноты для частичных функций многозначной логики // Кибернетический сборник. Новая серия. – М. : Мир, 1988. – Вып. 25. – С. 142–157.

5. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций / С. С. Марченков. – М. : Физматлит, 2000. – 126 с.

6. Марченков С. С. О выразимости функций многозначной логики в некоторых логико-функциональных языках / С. С. Марченков // Дискрет. математика. – 1999. – Т. 11, вып. 4. – С. 110–126.

7. Марченков С. С. Позитивно замкнутые классы трeхзначной логики / С. С. Марченков // Дискрет. анализ и исслед. операций. – 2014. – Т. 21, вып. 1. – С. 67–83.

8. Марченков С. С. Позитивно замкнутые классы частичных булевых функций / С. С. Марченков, А. А. Попова // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычислит. математика и кибернетика. – 2008. – № 3. – С. 30–34.

9. Пантелеев В. И. Оператор замыкания с разветвлением по предикату равенства на множестве гиперфункций ранга 2 / В. И. Пантелеев, Л. В. Рябец // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2014. – Т. 10. – С.93 – 105.

10. Тарасов В. В. Критерий полноты для не всюду определенных функций алгебры логики / В. В. Тарасов // Проблемы кибернетики. – М. : Наука, 1975. – Вып. 30. – С. 319–325.

11. Machida H. Hyperclones on a two-element set / H. Machida // Multiple-Valued Logic. An International Journal. – 2002. – N 8(4). – P. 495–501.

12. Machida H. On maximal hyperclones on {0, 1} – a new approach / H. Machida, J. Pantovic // Proceedings of 38th IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic (ISMVL 2008). – 2008. – P. 32–37.

13. Romov B. A. Hyperclones on a finite set / B. A. Romov // Multiple-Valued Logic. An International Journal. – 1998. – Vol.3(2). P. 285–300.