Алгебры распределений бинарных изолирующих и полуизолирующих формул являются производными структурами для данной теории. Эти алгебры отражают бинарные связи между реализациями 1-типов, определяемые формулами исходной теории. Тем самым возникает два вида взаимосвязанных классификационных вопросов: 1) по данному классу теорий определить, какие алгебры соответствуют теориям из этого класса, и классифицировать эти алгебры 2) классифицировать теории из класса в зависимости от определяемых этими теориями алгебр изолирующих и полуизолирующих формул. При этом описание конечной алгебры бинарных изолирующих формул однозначно влечет и описание алгебры бинарных полуизолирующих формул.

В статье дано описание алгебр распределений бинарных изолирующих формул теорий унаров с одноместными предикатами, основанное на таблицах умножения для этих алгебр. Доказано, что любая теория унара с одноместными предикатами определяет на множестве реализаций 1-типа алгебру распределений бинарных изолирующих формул, которая задается алгеброй, изоморфной ровно одной из следую- щих алгебр: 1) аддитивная группа целых чисел 2) циклическая группа 3) циклическая алгебра с заданным числом компонент связности 4) алгебра свободного унара с заданным числом прообразов для каждого элемента 5) аддитивный моноид натуральных чисел 6) алгебра нижних конусов. В частности, если одноместная функция унара является подстановкой, то алгебра распределений бинарных изолирующих формул задается алгеброй, изоморфной ровно одной из следующих алгебр: аддитивная группа целых чисел, циклическая группа, циклическая алгебра с заданным числом компонент связности. Указанные алгебры по своей структуре позволяют классифицировать исходные теории подстановок. Конечные алгебры исчерпываются следующим списком: циклические группы, циклические алгебры с заданным числом компонент связности, алгебры нижних конусов.

MSC

03C07, 03C60, 03G15, 20N02, 08A60

1. Ряскин А. Н. Число моделей полных теорий унаров / А. Н. Ряскин // Теория моделей и её применения. – Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988. – С. 162–182.

2. Судоплатов С. В. Классификация счетных моделей полных теорий. Ч. 1 / С. В. Судоплатов. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014.

3. ШишмаревЮ. Е. О категоричных теориях одной функции / Ю. Е.Шишмарев // Мат. заметки. – 1972. – Т. 11, № 1. – С. 89–98.

4. Baizhanov B. S. Orthogonality of one types in weakly o-minimal theories / B. S. Baizhanov // Algebra and Model Theory 2. Collection of papers / eds.: A. G. Pinus, K. N. Ponomaryov. – Novosibirsk : NSTU, 1999. – P. 5–28.

5. Baizhanov B. S. On behaviour of 2-formulas in weakly o-minimal theories / B. S. Baizhanov, B. Sh. Kulpeshov // Mathematical Logic in Asia, Proceedings of the 9th Asian Logic Conference / eds.: S. Goncharov, R. Downey, H. Ono. – Singapore, World Scientific : 2006. – P. 31–40.

6. Baizhanov B. S. Conditions for non-symmetric relations of semi-isolation / B. S. Baizhanov, S. V. Sudoplatov, V. V. Verbovskiy // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2012. – Vol. 9. – P. 161–184.

7. Ivanov A. A. Complete theories of unars / A. A. Ivanov // Algebra and Logic. – 1984. – Vol. 23, N 1. – P. 36–55.

8. Kulpeshov B. Sh. On algebras of distributions for binary formulas of countably categorical weakly o-minimal theories / B. Sh. Kulpeshov, S. V. Sudoplatov, D. Yu. Yemelyanov // Book of Abstracts. 15th Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, CLMPS 2015, Congress of the Division of Logic, Methodology and Philosophy of Science (DLMPS), Logic Colloquium 2015, LC 2015, Annual European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic (ASL), Helsinki 3–8 August 2015. University of Helsinki, 2015. – P. 663.

9. Marcus L. The number of countable models of a theory of one unary function / L. Marcus // Fundamenta Mathematicae. – 1980. – Vol. CVIII, issue 3. – P. 171—181.

10. Pillay A. Countable models of stable theories / A. Pillay // Proc. Amer. Math. Soc. – 1983. – Vol. 89, N 4. – P. 666–672.

11. Shulepov I. V. Algebras of distributions for isolating formulas of a complete theory / I. V. Shulepov, S. V. Sudoplatov // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2014. – Vol. 11. – P. 380–407.

12. Sudoplatov S. V. Hypergraphs of prime models and distributions of countable models of small theories / S. V. Sudoplatov // J. Math. Sciences. – 2010. – Vol. 169, N 5. – P. 680–695.

13. Sudoplatov S. V. Algebras of distributions for semi-isolating formulas of a complete theory / S. V. Sudoplatov // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2014. – Vol. 11. – P. 408–433.

14. Sudoplatov S. V. Algebras of distributions for binary semi-isolating formulas for families of isolated types and for countably categorical theories / S. V. Sudoplatov // International Mathematical Forum. – 2014. – Vol. 9, N 21. – P. 1029–1033.