В статье рассматриваются модели эпидемий трансмиссивных заболеваний с возрастной структурой, динамика которых описывается SEI-SEIR системами дифференциальных уравнений в частных производных для человеческой популяции и SEI системой обыкновенных дифференциальных уравнений для популяции переносчиков. На основе этих моделей формулируются задачи оптимального управления уровнем финансирования программ по ограничению передачи инфекции от переносчиков болезни к людям. В качестве цели оптимизации в таких задачах выбрана совокупная минимизация количества зараженных людей и затраченных на ограничение распространения болезни средств. Для разрешения противоречивости критериев оптимальности в целевом функционале используется подход весовых коэффициентов. Задача в исходной постановке является нелинейной, и поэтому возникают сложности в построении численных методов более эффективных, чем методы, основанные на принципе максимума Понтрягина, или градиентные методы. По этой причине в статье делается упрощающее предположение о том, что доля зараженных переносчиков в популяции, а также сама величина популяции переносчиков являются постоянными величинами. Конечно, такое изменение постановки задачи не позволяет достаточно полно исследовать исходную модель, в которой динамика популяции переносчиков описывается дифференциальными уравнениями, но дает возможность упростить исходные нелинейные модели и свести их к задачам оптимального управления с линейной по фазовым переменным динамической системой. Для этой задачи с распределенными параметрами построены точные формулы приращения функционала и численные методы улучшения управления, основанные на этих формулах. Данные методы обладают большей эффективностью по сравнению с известными стандартными методами, так как позволяют за одно решение задачи Коши построить улучшающее управление. Кроме того, эти методы обладают возможностью улучшения экстремальных и вырожденных допустимых управлений.

1. Васильев Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. – М. : Факториал Пресс, 2002. – 824 с.

2. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В. А. Срочко. – М. : ФИЗМАЛИТ, 2000. – 160 с.

3. Терлецкий В. А. Обобщенное решение одномерных полулинейных гиперболических систем со смешанными условиями / В. А. Терлецкий // Изв. вузов. Математика. – 2004. – № 12. – C. 82–90.

4. Gupur G. Threshold and Stability Results for an Age-Structured Epidemic Model / G. Gupur, Xue-Zhi Li, Guang-Tian Zhu // Computers and Mathematics with Applications. – 2001. – Vol. 42, N 6. – P. 883-907.

5. Hoppensteadt F. An age dependent epidemic model / F. Hoppensteadt // Journal of the Franklin Institute. – 1974. – Vol. 297, N 5. – P. 325-333.

6. Hoppensteadt F. Mathematical Theories of Populations: Demographics, Genetics, and Epidemics / F. Hoppensteadt. – Society of Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 1975.

7. Inaba H., Threshold and stability results for an age-structured epidemic model / H. Inaba // J. Math. Biol. – 1990. – Vol. 28, N 4. – P. 411–434.

8. Macdonald G. The measurement of malaria transmission / G. Macdonald // Proc R Soc Med. – 1955. – Vol. 48, N 4. – P. 295–302.

9. Park T. Age-dependence in epidemic models of vector-borne infections / T. Park. – The University of Alabama, Huntsville, 2004.

10. Ross R. Report on the prevention of malaria in Mauritius / R. Ross – N. Y. : E. P. Dutton & Company,;1908.

11. Ross R. The logical basis of the sanitary policy of mosquito reduction / R. Ross // Science – 1905. – Vol. 22, N 570. – P. 689–699.

12. Ross R. The prevention of malaria / R. Ross. – London : John Murray, 1910.