В статье обсуждается применение функций типа Ляпунова к условиям оптимальности импульсных процессов. Рассматривается задача оптимального импульсного управления с траекториями ограниченной вариации и импульсными управлениями типа регулярной векторной меры. Эта задача характеризуется двумя основными особенностями. Во-первых, управляемая система линейна по импульсному управлению и может не удовлетворять так называемому условию корректности типа Фробениуса. Это приводит к появлению дополнительной компоненты управления, позволяющей связать соответствующую разрывную траекторию с аппроксимирующей последовательностью абсолютно непрерывных траекторий. Во-вторых, в задаче имеются промежуточные фазовые ограничения на односторонние значения траекторий в заданные моменты времени. Для задачи оптимального импульсного управления с промежуточными фазоограничениями получены достаточные условия оптимальности, относящиеся к канонической теории оптимальности Гамильтона–Якоби. Они основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова — решений соответствующих проксимальных неравенств типа Гамильтона–Якоби. Наличие в задаче промежуточных фазоограничений потребовало применения составных функций типа Ляпунова, кусочно определенных по переменной времени t. Непрерывные компоненты составных функций обладают свойством сильной монотонности относительно импульсной управляемой системы на соответствующих промежутках времени t. При этом для получения симметричных результатов и расширения области применения условий оптимальности в составные функции включены необязательные компоненты, обладающие свойством сильной монотонности относительно предельной системы, описывающей эволюцию скачков разрывных траекторий. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие представленные условия оптимальности.

1. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления / В. И. Гурман. – 2-е изд. перераб. и доп. – М. : Наука, 1997.

2. Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2003.

3. Дыхта В. А. Принцип максимума в гладких задачах оптимального импульсного управления с многоточечными фазоограничениями / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 2009. – №. 6. –С. 981–997.

4. Дыхта В.А. Неравенства Гамильтона–Якоби в задачах управления импульсными динамическими системами / В.А. Дыхта, О.Н. Самсонюк // Тр. Математ. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. — 2010. — Т. 271. — С. 93–110.

5. Дыхта В. А. Каноническая теория оптимальности импульсных процессов / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк // Современная математика. Фундам. направления. – 2011. – Т. 42. – С. 118–124.

6. Завалищин С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин — М. : Наука, 1991.

7. Миллер Б. М. Условия оптимальности в задаче управления системой, описываемой дифференциальным уравнением с мерой / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. – 1982. – № 6. – С. 60–72.

8. Миллер Б.М. Условия оптимальности в задачах обобщенного управления I, II / Б.М. Миллер // Автоматика и телемеханика. – 1992. – № 3. – С. 362–370 – № 4. – С. 505–513.

9. Миллер Б.М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управления импульсными и дискретно-непрерывными системами / Б.М. Миллер // Автоматика и телемеханика. – 1993. – № 12. – С. 3–32.

10. Миллер Б. М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович. – М. : Наука, 2005.

11. Самсонюк О.Н. Составные функции типа Ляпунова в задачах управления импульсными динамическими системами / О.Н. Самсонюк // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2010. – Т. 16, №5. – С. 170–178.

12. Самсонюк О.Н. Монотонность функций типа Ляпунова для импульсных управляемых систем / О.Н. Самсонюк // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2014. – Т. 7. – С. 104–123.

13. Самсонюк О. Н. Инвариантность множеств относительно нелинейных импульсных управляемых систем / О. Н. Самсонюк // Автоматика и телемеханика. – 2015. – № 3. – С. 44–61.

14. Сесекин А. Н. О множествах разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений / А. Н. Сесекин // Изв. вузов. Математика. — 1994. — № 6. — С. 83-89.

15. Сесекин А. Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой / А. Н. Сесекин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2000. – Т. 6. – C. 497–510.

16. Стефанова А. В. Уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана для нелинейных импульсных управляемых систем / А. В. Стефанова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 1998. – Т. 5. – С. 301–318.

17. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F. H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski. – N. Y. : Springer-Verlag, 1998.

18. Code W. J. Closed loop stability of measure-driven impulsive control systems / W. J. Code, G. N. Silva // J. Dyn. Cont. Syst. – 2010. – V. 16. – P. 1–21.

19. Daryin A. N. Dynamic programming for impulse control / A. N. Daryin, A. B. Kurzhanski // Ann. Reviews in Control. – 2008. – Vol. 32. — P. 213–227.

20. Dykhta V. Some applications of Hamilton – Jacobi inequalities for classical and impulsive optimal control problems / V. Dykhta, O. Samsonyuk // European Journal of Control. – 2011. – Vol. 17. – P. 55–69.

21. Fraga S. L. On the feedback control of impulsive dynamic systems / S. L. Fraga, F. L. Pereira // Proc. of 47th IEEE Conference on Decision and Control, 2008. – P. 2135–2140.

22. Matos A. C. Hamilton – Jacobi conditions for a measure differential control problem / A. C. Matos, F. L. Pereira // Proc. of XII Baikal International conference on Methods of optimization and its applications, Irkutsk, Russia, 2001. – P. 237–245.

23. Miller B. M. The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control / B. M. Miller // SIAM J. Control Optim. – 1996. – Vol. 34. – P. 1420–1440.

24. Motta M. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls / M. Motta, F. Rampazzo // Differential Integral Equations. – 1995. – Vol. 8. – P. 269–288.

25. Motta M. Dynamic programming for nonlinear systems driven by ordinary and impulsive control / M. Motta, F. Rampazzo // SIAM J. Control Optim. – 1996. – Vol. 34. – P. 199–225.

26. Pereira F.L. Stability for impulsive control systems / F. L. Pereira, G. N. Silva // Dynamical Systems. – 2002. – Vol. 17. – P. 421–434.

27. Vinter R. B. Optimal Control / R. B. Vinter. – Birkhauser, Boston, 2000.