Работа представляет некоторые заметки по эволюции иркутской школы О.В. Васильева по методам оптимального управления, основанным на принципе максимума (минимума) Л. С. Понтрягина. При этом исследуются некоторые особенности самого принципа Понтрягина, в частности, его достаточность и конструктивное свойство для линейных систем управления и выпуклых (по состоянию) функционалов. Приведены исторические замечания по разработке методов оптимального управления, базирующихся на принципе Понтрягина. При этом особое внимание уделено вкладу иркутской школы О. В. Васильева по теории и методам оптимального управления, а также вкладу любимого ученика О. В. Васильева профессора В. А. Срочко. Математическая презентация сконцентрирована на истории создания и исследованиям по сходимости и обоснованию метода последовательных приближений, основанного на принципе Понтрягина. Далее рассматриваются новые условия глобальной оптимальности в общей невыпуклой задаче оптимального управления с целевым функционалом Больца. При этом наряду с доказательством необходимости условий глобальной оптимальности исследуются их взаимосвязи с принципом Понтрягина. Устанавливается также конструктивное (алгоритмическое) свойство новых условий глобальной оптимальности. Кроме того, приводится пример решения невыпуклой задачи оптимального управления посредством условий глобальной оптимальности, когда происходит улучшение управления, удовлетворяющего принципу Понтрягина, с непременным улучшением значения целевого функционала. В заключение демонстрируется также возможность построения численных методов, использующих принцип Понтрягина и новые условия глобальной оптимальности, и приводятся результаты по сходимости.

1. Васильев О. В. Лекции по методам оптимизации / О. В. Васильев. – Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 344 с.

2. Васильев О. В. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума / О. В. Васильев, А. И. Тятюшкин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1981. – Т. 21, №6. – С. 1376–1384.

3. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления / Л. Т. Ащепков, Б. И. Белов, В. П. Булатов, О. В. Васильев, В. А. Срочко, Н. В. Тарасенко. – Новосибирск : Наука, 1984.

4. Васильев Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. – М. : Факториал Пресс, 2002. – 824 с.

5. Габасов Р. Ф. Оптимизация линейных систем / Р. Ф. Габасов, Ф. М. Кириллова. – Минск : Изд-во Белорус. ун-та, 1973. – 246 с.

6. Габасов Р. Принцип максимума в теории оптимального управления / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. – Минск : Изд-во Белорус. ун-та, 1974. – 271 с.

7. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач / И. В. Гирсанов. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1970. – 116 с.

8. Крылов И. А. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления / И. А. Крылов, Ф. Л. Черноусько // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1972. – Т. 12, №1. – С. 14–34.

9. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионс. – М. : Мир, 1972. – 416 с.

10. Любушин А. А. Модификация и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления / А. А. Любушин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1979. – Т. 19, №6. – С. 1414–1421.

11. Любушин А. А. О применении модификаций метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления / А. А. Любушин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1982. – Т. 22, №1. – С. 30–35.

12. Любушин А. А. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / А. А. Любушин, Ф. Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. – 1983. – №2. – С. 147–159.

13. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. –3-е изд. – М. : Наука, 1976. – 392 с.

14. Срочко В. А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления / В. А. Срочко. – Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1989. – 160 с.

15. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В. А. Срочко. – М. : Физматлит, 2000. – 160 с.

16. Срочко В. А. Линейно-квадратичная задача оптимального управления: обоснование и сходимость нелокальных методов решения / В. А. Срочко, Е. В. Аксенюшкина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6, № 1. – С. 89–100.

17. Срочко В. А. Улучшение экстремальных управлений и метод скорейшего подъема в задаче максимизации нормы на множестве достижимости / В. А. Срочко, С. Н. Ушакова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 2010. – Т. 50, №5. – С. 848–859.

18. Стрекаловский А. С. Элементы невыпуклой оптимизации / А. С. Стрекаловский. – Новосибирск : Наука, 2003. – 356 с.

19. Стрекаловский А. С. Максимизация выпуклого по состоянию функционала Лагранжа в оптимальном управлении / А. С. Стрекаловский // Автоматика и телемеханика. – 2012. – № 6. – С. 18–33.

20. Стрекаловский А. С. Задачи оптимального управления с терминальными функционалами, представимыми в виде разности двух выпуклых функций / А. С. Стрекаловский // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 2007. – Т. 47, № 11. – С. 1865–1879.

21. Стрекаловский А. С. Биматричные игры и билинейное программирование / А. С. Стрекаловский, А. В. Орлов. – М. : Физматлит, 2007. – 224 с.

22. Стрекаловский А. С. Глобальный поиск в одной невыпуклой задаче оптимального управления / A. C. Стрекаловский, М. В. Янулевич // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2013. – Т. 52, № 6. – С. 52–67.

23. Стрекаловский А. С. К решению невыпуклых задач оптимального управления с терминальным целевым функционалом / А. С. Стрекаловский, М. В. Янулевич // Вычисл. методы и программирование. – 2010. – Т. 11. – С. 269–280.

24. Стрекаловский А. С. Глобальный поиск в задаче оптимального управления c целевым терминальным функционалом, представленным разностью двух выпуклых функций / А. С. Стрекаловский, М. В. Янулевич // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 2008. – Т. 48, № 7. – С. 1187–1201.

25. Тятюшкин А. И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем / А. И. Тятюшкин. – Новосибирск : Наука, 2006. – 343 с.

26. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем / Ф. Л. Черноусько. – М. : Наука, 1988. – 320 с.

27. Черноусько Ф. Л. Методы управления нелинейными механическими системами / Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. Решмин. – М. : Физматлит, 2006. – 328 с.

28. Черноусько Ф. Л. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы / Ф. Л. Черноусько, Н. В. Баничук. – М. : Наука, 1973. – 240 с.

29. Черноусько Ф. Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф. Л. Черноусько, А. А. Меликян. – М. : Наука, 1978. – 270 с.

30. Chernousko F. L. Method of successive approximations for optimal control problems / F. L. Chernousko, A. A. Lyubushin // Optimal Control Applications and Methods. – 1982. – Vol. 3, N 2. – P. 101–114.

31. Clarke F. Optimization and Nonsmooth Analysis / F. Clarke. – 2nd ed. – Philadelphia : SIAM, 1990.

32. Hiriart-Urruty J.-B. Convex Analysis and Minimization Algorithms / J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemar´echal. – Berlin, N. Y. : Springer-Verlag, 1993.

33. Hiriart-Urruty J.-B. Generalized differentiability, duality and optimization for problem dealing with difference of convex functions / J.-B. Hiriart-Urruty // Convexity and Duality in Optimization / J. Ponstein (ed.). – Berlin : Springer-Verlag, 1985. – Vol. 256. – P. 37–69.

34. Kelley H. J. Successive approximation techniques for trajectory optimization / H. J. Kelley, R. E. Kopp, H. G. Moyer // Proc. of Symp. on Vehicle System Optimization. – N. Y., 1961.

35. Mordukhovich B. S. Variational Analysis and Generalized Differentiation. I: Basic Theory. II: Applications / B. S. Mordukhovich. – Berlin : Springer, 2006.

36. Nocedal J. Numerical Optimization / J. Nocedal, St. Wright. – 2nd edn. – N. Y. : Springer, 2006.

37. Strekalovsky A. S. Global Optimality Conditions for Optimal Control Problems with Functions of A. D. Alexandrov / A. S. Strekalovsky // Journal of Optimization Theory and Applications. – 2013. – Vol. 159, N 6. – P. 297–321.

38. Strekalovsky A. S. On Global Maximum of a Convex Terminal Functional in Optimal Control Problems / A. S. Strekalovsky // J. Global Optimization. – 1995. – Vol 7, № 1. – P. 75–91.

39. Strekalovsky A. S. On Computational Search for Optimistic Solution in Bilevel Problems / A. S. Strekalovsky, A. V. Orlov, A. V. Malyshev // J. Global Optimization. – 2010. – Vol. 48, N 1. – P. 159–172.

40. Vasiliev O. V. Optimization Methods / O. V. Vasiliev. – Atlanta :World Federation Publishers Company Inc., 1996.