Универсальные функциональные ряды изучали многие авторы, начиная с 1906 г., в котором венгерский математик Фекете впервые рассмотрел универсальный степенной ряд в действительной области. Тригонометрические универсальные ряды построил Д. Е. Меньшов (1945), их исследовали также, например, J. J. Edge (1970), Н. Б. Погосян (1983). В комплексной области существование универсальных степенных рядов доказали А. И. Селезнёв (1951), C. K. Chui и M. N. Parnes (1971), V. Nestoridis (1996) и другие авторы. Разные авторы изучали также другие универсальные функциональные ряды.

Свойство универсальности функционального ряда заключается в приближении функции из определённого класса частичными суммами данного ряда. Это свойство представляет собой обобщение известной теоремы С. Н. Мергеляна (1952) о приближении аналитической функции многочленами на компактных множествах.

В настоящей работе показано существование универсального ряда по многочленам Чебышёва. W. Luh (1976) обобщил свойство универсальности степенного ряда на случай его матричных преобразований. В некотором смысле аналоги этого обобщения получены первым автором данной работы (1990, в соавторстве: 2012, 2013) для некоторых функциональных рядов. В настоящей работе указанное обобщение распространено на ряды по многочленам Чебышёва с помощью суммирования универсального ряда. А именно, построены специальные суммы, связанные с рядами по многочленам Чебышёва, обладающие свойством универсальности, то есть любая функция из определённого класса на компактных множествах, специальным образом взятых, равномерно приближается этими суммами. Построение их осуществляется методом матричного преобразования, который применялся ранее первым автором при построении специальных сумм для других рядов но в отличие от них в исследуемых суммах в матрице преобразования столбцы берутся без пропусков.

MSC

40A30

DOI

https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.21.51

1. Гостева Н. В. Об одном обобщении свойства универсальности степенных рядов с пропусками / Н. В. Гостева, Л. К. Додунова // Изв. вузов. Математика. – 2012 – № 3. – С. 3–8.

2. Додунова Л. К. Об одном обобщении свойства универсальности рядов по многочленам Фабера / Л. К. Додунова // Изв. вузов. Математика. – 1990 – № 12. – С. 31–34.

3. Додунова Л. К. О сверхсходимости универсальных рядов / Л. К. Додунова // Изв. вузов. Математика. – 1988 – № 2. – С. 19–22.

4. Додунова Л. К. Приближение функций универсальными суммами рядов по подсистемам многочленов Эрмита / Л. К. Додунова, О. В. Тютюлина // Изв. вузов. Математика. – 2013 – № 9. – С. 16–20.

5. Додунова Л. К. Обобщение универсального ряда по многочленам Чебышёва / Л. К. Додунова, Д. Д. Охатрина // Чебышев. сб. – 2017 – Т. 18, вып. 1. – С. 65–72.

6. Меньшов Д. Е. Об универсальных тригонометрических рядах / Д. Е. Меньшов // Докл. АН СССР. – 1945 – Т. 49, № 2. – С. 79–82.

7. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва / С. Пашковский пер. с польск. С. Н. Киро, под ред. В. И. Лебедева. – М. : Наука, 1983.

8. Погосян Н. Б. Об универсальных рядах Фурье / Н. Б. Погосян // Успехи мат. наук. – 1983 – Т. 38, № 1. – С. 185–186.https://doi.org/10.1070/RM1983v038n01ABEH003410

9. Селезнёв А. И. Об универсальных степенных рядах / А. И. Селезнёв // Мат. сб. – 1951 – Т. 28, № 2. – С. 453–460.

10. Селезнёв А. И. О некоторых классах универсальных рядов / А. И. Селезнёв, Л. К. Додунова // Изв. вузов. Математика. – 1977 – № 12. – С. 92–98.

11. Селезнёв А. И. К двум теоремам А. Ф. Леонтьева о полноте подсистем полиномов Фабера и Якоби / А. И. Селезнёв, Л. К. Додунова // Изв. вузов. Математика. – 1982 – № 4. – С. 51–55.

12. Селезнёв А. И. О полноте систем функций и универсальных рядах / А. И. Селезнёв, И. В. Мотова, В. А. Волохин // Изв. вузов. Математика. – 1977 – № 11. – С. 84–90.

13. Чащина Н. С. К теории универсального ряда Дирихле / Н. С. Чащина // Мат. сб. – 1963 – № 4. – С. 165–167.

14. Полное собрание сочинений П. Л. Чебышёва. – М. : Изд-во АН СССР, 1947. – Т. 2.

15. Chui C. K. Approximation by overconvergence of a power series / C. K. Chui, M. N. Parnes // J. Math. Anal. Appl. – 1971. – Vol. 36, N 3. – P. 693–696. https://doi.org/10.1016/0022-247X(71)90049-7

16. Edge J. J. Universal trigonometric series / J. J. Edge // J. Math. Anal. Appl. – 1970. – N 29. – P. 507–511. https://doi.org/10.1016/0022-247X(70)90064-8.

17. Katsoprinakis E. Universal Faber series / E. Katsoprinakis, V. Nestoridis, I. Papadoperakis // Analysis (Munich). – 2001. – N 21. – P. 339–363.

18. Luh W. Uber den Sats von Mergelyan / W. Luh // J. Approxim. Theory. – 1976. – Vol l6, N 2. – P. 194–198. https://doi.org/10.1016/0021-9045(76)90048-4.

19. Nestoridis V. Universal Taylor series / V. Nestoridis // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). – 1996. – N 46. – P. 1293–1306.