Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 21
Асимптотика решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с дробной точкой поворота
В статье развиваем классический метод пограничных функций Вишика – Люстерника – Васильевой – Иманалиева для построения равномерных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных уравнений с особыми точками. В данной работе, модернизируя классический метод погранфункций, строятся равномерные асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с дробной точкой поворота. Как нам известно, задачи с точками поворота встречаются в уравнении Шредингера для туннельного перехода, задачах с классическим осциллятором, задачах механики сплошной среды, задаче гидродинамической устойчивости, уравнении Орра – Зоммерфельда, а также при определении тепла трубе и др. Определение поведения решения подобных задач при стремлении малого (большого) параметра к нулю (к бесконечности) является актуальной задачей. Нами исследуются задачи Коши и Дирихле для сингулярно возмущенных линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка, соответственно. При этом доказывается, что главные члены асимптотических разложений имеют отрицательные дробные степени по малому параметру. Как практика показывает, решения большинство сингулярно возмущенных уравнений с особыми точками обладают этим свойством. Построенные разложения решений являются асимптотическими в смысле Эрдей, когда малый параметр стремится к нулю. Получены оценки для остаточных членов асимптотических разложений, т. е. асимптотические разложения обоснованы. Идея модификации метода пограничных функций реализована для обыкновенных дифференциальных уравнений, но ее можно применять и при построении асимптотики решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных с особенностями.
1. Алымкулов К. Об одном методе построения асимптотических разложений решений бисингулярно возмущенных задач / К. Алымкулов, Д. А. Турсунов // Изв. вузов. Математика. – 2016. – № 12. – С. 3–11. https://doi.org/10.3103/S1066369X1612001X
2. Бобочко В. Н. Нестабильная дифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений / В. Н. Бобочко // Изв. вузов. Математика. – 2005. – № 4. – С. 8–17.
3. Бобочко В. Н. Равномерная асимптотика решения неоднородной системы двух дифференциальных уравнений с точкой поворота / В. Н. Бобочко // Изв. вузов. Матем. – 2006. № 5. – С. 8–18.
4. Зимин А. Б. Задача Коши для линейного уравнения второго порядка с малым параметром, вырождающегося в пределе в уравнение с особыми точками / А. Б. Зимин // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 9. – С. 1583–1593.
5. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. - М. : Наука, 1989. – 336 с.
6. Ильин А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин. - М. : Физматлит, 2009. - 248 с.
7. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. – М. : Наука, 1981. - 400 с.
8. Турсунов Д. А. Асимптотическое разложение решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с тремя точками поворота / Д. А. Турсунов // Тр. ИММ УрО РАН. – 2016. – Т. 22, № 1. – С. 271–281.
9. Турсунов Д. А. Асимптотическое решение бисингулярной задачи Робена / Д. А. Турсунов // Сиб. электрон. мат. изв. – 2017. - Т. 14. - С. 10–21. – DOI: 10.17377/semi.2017.14.002
10. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М. В. Федорюк. - М. : Наука, 1977. - 352 с. https://doi.org/10.1007/978-3-642-58016-1
11. Cole J. D. Perturbation Methods in Appled Mathematics /J. D. Cole. - Blaisdell, Waltham, MA, 1968.
12. Ekhaus V. Matched Asymptotic Expansions and Singular Perturbation / V. Ekhaus. – North-Holland, Amsterdam, 1973.
13. Fruchard A. Composite Asymptotic Expansions / A. Fruchard, R. Schafke. – Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013. https://doi.org/10.1007/978-3-642-34035-2
14. WasowW. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations /W.Wasow. – N. Y. : Dover publications, INC, Mineola, 1965.
15. Wasow W. Linear turning point theory / W. Wasow. – N. Y. : Springer-Verlag, 1985. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1090-0.
16. Watts A. M. A singular perturbation problem with a turning point / A. M. Watts // Bull. Austral. Math. Soc. – 1971. – Vol. 5. - P. 61–73.