В работе представлен новый метод вычисления значений производных в LD-разложении параметризованных матриц, основанном на прямой процедуре модифицированной взвешенной ортогонализации Грама – Шмидта.

Потребность в вычислении значений производных в матричных ортогональных преобразованиях возникает в теории возмущений и управления, дифференциальной геометрии, при решении таких задач, как вычисление экспонент Ляпунова, задач автоматического дифференцирования, вычисления численного решения матричного дифференциального уравнения Риккати, вычисления производных высокого порядка в задаче планирования эксперимента. В задаче параметрической идентификации математических моделей дискретных линейных стохастических систем подобные вопросы решают при разработке численно эффективных алгоритмов нахождения решения матричного разностного уравнения чувствительности Риккати.

В данной работе поставлена и решена новая задача вычисления значений производных. Основной теоретический результат представлен леммой 1. Практическим результатом является вычислительный алгоритм 2. Программная реализация алгоритма позволяет быстро и с высокой точностью вычислить значения производных элементов параметризованных матриц, являющихся результатом прямой процедуры LD-разложения. При этом нет необходимости вычислять значения производных элементов матрицы взвешенного ортогонального преобразования. Алгоритм имеет простую структуру и не содержит сложных операций символьного либо численного дифференцирования. Требуется только одно обращение треугольной матрицы и простые матричные операции сложения и умножения.

Рассмотрены два численных примера, которые показывают работоспособность и численную эффективность предложенного алгоритма.

Полученные в работе результаты будут использованы для построения новых классов адаптивных LD-фильтров в области параметрической идентификации математических моделей дискретных линейных стохастических систем.

Об авторах

Цыганова Юлия Владимировна, д-р физ.-мат. наук, доцент, кафедра информационных технологий, Ульяновский государственный университет, Российская Федерация, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42, e-mail: tsyganovajv@gmail.com

Цыганов Андрей Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра высшей математики, Ульяновский государственный педагогический университет им. И. Н. Ульянова, Российская Федерация, 432071, г. Ульяновск, площадь 100-летия со дня рождения В. И. Ленина, 4, e-mail: andrew.tsyganov@gmail.com

MSC

65F25,65D25

DOI

https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.23.64

1. Адаптивные системы фильтрации, управления и обнаружения : коллективная монография / И. В. Семушин [и др.]. – Ульяновск : УлГУ, 2011. – 298 с.

2. Цыганова Ю. В. Вычисление градиента вспомогательного функционала качества в задаче параметрической идентификации стохастических систем /Ю. В. Цыганова // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 9. – С. 142–160. https://doi.org/10.1134/S0005117911090141

3. Цыганова Ю. В. Об эффективных методах параметрической идентификации линейных дискретных стохастических систем / Ю. В. Цыганова, М. В. Куликова // Автоматика и телемеханика. – 2012. – № 6. – С. 34–51. https://doi.org/10.1134/S0005117912060033

4. Шарый С. П. Курс вычислительных методов. Электронный учебник / С. П. Шарый. – Новосибирск : Ин-т вычисл. технологий СО РАН, 2012. –315 с.

5. Bierman G. J. Factorization Methods For Discrete Sequential Estimation / G. J. Bierman. – New York : Academic Press, 1977. – 256 p.

6. Maximum likelihood estimation using square root information filters /G. J. Bierman, M. R. Belzer, J. S. Vandergraft, D. W. Porter // IEEE Trans. on Automatic Control. – 1990. – Dec. – Vol. 35, N 12. – P. 1293–1298. https://doi.org/10.1109/9.61004

7. Bjorck A. Solving least squares problems by by Gram - Schmidt orthogonalization /A. Bjorck // BIT. – 1967. – Vol. 7. – P. 1-21. doi:10.1007/BF01934122

8. Dieci L. On the Computation of Lyapunov Exponents for Continuous Dynamical Systems / L. Dieci, R. D. Russell, E. S. Van Vleck // SIAM J. Numer. Anal. – 1997. – Vol. 34б N 1. – P. 402-423. https://doi.org/10.1137/S0036142993247311

9. Dieci L. Applications of Smooth Orthogonal Factorizations of Matrices / L. Dieci, T. Eirola // Numerical Methods for Bifurcation Problems and Large-ScaleDynamical Systems. – Springer New York, 2000. – Vol. 119 of the IMA Volumesin Mathematics and its Applications. – P. 141–162. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1208-9

10. An extended collection of matrix derivative results for forward and reverse modealgorithmic differentiation : Report : 08/01 Executor: M. Giles. – Oxford University Computing Laboratory, Parks Road, Oxford, U.K. : 2008. – January. – 23 p.

11. Gupta N. K. Computational aspects of maximum likelihood estimation andreduction in sensitivity function calculations / N. K. Gupta, R. K. Mehra // IEEE Trans. on Automatic Control. – 1974. – N AC-19. – P. 774–783. https://doi.org/10.1109/TAC.1974.1100714

12. Jordan T. L. Experiments on error growth associated with some linear least squaresprocedures / T. L. Jordan // Math. Comp. – 1968. – Vol. 22, N 1. – P. 579–588. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1968-0229373-X

13. Jover J. M. A Parallel Architecture for Kalman Filter Measurement Update and Parameter Estimation / J. M. Jover, T. Kailath // Automatica. – 1986. – Vol. 22,N 1. – P. 43–57. https://doi.org/10.1016/0005-1098(86)90104-4

14. Kulikova M. V. Maximum likelihood estimation via the extended covarianceand combined square-root filters / M. V. Kulikova // Mathematics and Computers in Simulation. – 2009. – Vol. 79, N 5. – P. 1641–1657. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2008.08.004

15. KulikovaM. V. Likelihood gradient evaluation using square-root covariance filters / M. V. Kulikova // IEEE Trans. on Automatic Control. – 2009. – Mar. – Vol. 54,N 3. – P. 646–651. https://doi.org/10.1109/TAC.2008.2010989

16. Kulikova M. V. Constructing numerically stable Kalman filter-based algorithms for gradient-based adaptive filtering / M. V. Kulikova, J. V. Tsyganova // Int. J.Adapt. Control Signal Process. – 2015. – Nov. – Vol. 29, N. 11. – P. 1411–1426. https://doi.org/10.1002/acs.2552

17. Kunkel P. Smooth factorizations of matrix valued functions and their derivatives /P. Kunkel, V. Mehrmann // Numerische Mathematik. – 1991. – Dec. – Vol. 60,N 1. – P. 115–131. https://doi.org/10.1007/BF01385717

18. Thornton C. L. Triangular Covariance Factorizations for Kalman Filtering : Ph.D.thesis / C. L. Thornton School of Engineering. – University of California at Los Angeles, 1976.

19. Tsyganova J. V. State sensitivity evaluation within UD based arraycovariance filters / J. V. Tsyganova, M. V. Kulikova // IEEE Trans. on Automatic Control. – 2013. – Nov. – Vol. 58, N 11. – P. 2944–2950. https://doi.org/10.1109/TAC.2013.2259093

20. Walter S. F. Structured Higher-Order Algorithmic Differentiation in the Forwardand Reverse Mode with Application in Optimum Experimental Design : Ph.D.thesis / S. F. Walter Humboldt-Universitat zu Berlin. – 2011. – 221 p.