рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2026. Том 57

Теорема существования и единственности слабого решения начально-краевой задачи для математической модели движения смеси жидкостей Кельвина – Фойгта

Автор(ы)

Д. А. Закора1, Д. А. Прокудин2

1 Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, Российская Федерация

2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Рассматриваются уравнения, описывающие трехмерные нестационарные движения смеси вязких несжимаемых жидкостей Кельвина – Фойгта. Доказывается теорема существования и единственности слабого решения начально-краевой задачи, соответствующей течениям смеси в ограниченной области. Для доказательства существования решения рассматривается аппроксимационная задача, устанавливаются ее разрешимость и априорные оценки, не зависящие от параметра аппроксимации. После чего осуществляется предельный переход по параметру аппроксимации и показывается, что решения аппроксимационной задачи слабо сходятся к решению исходной задачи. Единственность решения устанавливается при помощи неравенства Гронуолла.
Об авторах

Закора Дмитрий Александрович, д-р физ.-мат. наук, доц., Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, 295007, Российская Федерация, dmitry.zkr@gmail.com

Прокудин Дмитрий Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, доц., Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Российская Федерация, prokudin@hydro.nsc.ru

Ссылка для цитирования
Закора Д. А., Прокудин Д. А. Теорема существования и единственности слабого решения начально-краевой задачи для математической модели движения смеси жидкостей Кельвина – Фойгта // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2026. Т. 57. C. 66–80. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.57.66
Ключевые слова
теорема существования и единственности, начально-краевая задача, несжимаемая жидкость, многокомпонентная среда, модель Кельвина – Фойгта
УДК
517.9
MSC
35A01, 76D03
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.57.66
Литература
  1. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М. : Мир, 1971. 350 с.
  2. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред. Ч. 1. Основы и классические модели жидкостей. М. : Наука : Физматлит, 2000. 256 с.
  3. Закора Д. А. Задача о малых движениях смеси вязких сжимаемых жидкостей // Сибирские электронные математические известия. 2023. Т. 20, № 2. С. 1552–1589. https://doi.org/10.33048/semi.2023.20.096
  4. Звягин А. В. Слабая разрешимость термовязкоупругой модели Кельвина–Фойгта // Известия вузов. Математика. 2018. Т. 3. С. 91–95.
  5. Звягин В. Г., Турбин М. В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина–Фойгта // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. Т. 31. С. 3–144.
  6. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М. : ГИФМЛ, 1961. 204 с.
  7. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М. : Наука, 1987. 359 с.
  8. Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-–Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 179. С. 126-164.
  9. Осколков А. П. Нелокальные проблемы для уравнений жидкостей Кельвина–Фойгта и их 𝜀-аппроксимаций в классах гладких функций // Записки научного семинара ПОМИ. 1995. Т. 230. С. 214–242.
  10. Tемам Р. Уравнения Навье–Стокса. М. : Мир, 1981. 408 с.
  11. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. М. : Физматгиз, 1962. 432 с.
  12. Antontsev S. N., Oliveira H. B., Khompysh Kh. Kelvin-Voigt equations for incompressible and nonhomogeneous fluids with anisotropic viscosity, relaxation and damping // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2022. Vol. 29. Art. N 60. https://doi.org/10.1007/s00030-022-00794-z
  13. Antontsev S. N., Oliveira H. B., Khompysh Kh. The classical Kelvin-Voigt problem for incompressible fluids with unknown non-constant density: existence, uniqueness and regularity // Nonlinearity. 2021. Vol. 34, N 5. P. 3083–3111. https://doi.org/10.1088/1361-6544/abe51e
  14. Frehse J., Goj S., Malek J. On a Stokes-like system for mixtures of fluids // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2005. Vol. 36, N 4. P. 1259–1281. https://doi.org/10.1137/S0036141003433425
  15. Frehse J., WeigantW. On quasi-stationary models of mixtures of compressible fluids // Applications of Mathematics. 2008. Vol. 53, N 4. P. 319–345. https://doi.org/10.1007/s10492-008-0029-6
  16. Leray J. Etude de diverses equations integrales nonlineaires et de quelques problemes que pose l’hydrodynamique // J. Math. Pures. Appl. 1933. Vol. 12. P. 1–82.
  17. Mamontov A. E., Prokudin D. A. Viscous comressible multi-fluids: modeling and multi-d existence // Methods and Applications of Analysis. 2013. Vol. 20, N 2. P. 179–196. https://doi.org/10.4310/MAA.2013.v20.n2.a5
  18. Mohan M. T. On the three dimensional Kelvin-Voigt fluids: global solvability, exponential stability and exact controllability of Galerkin approximations // Evolution Equations and Control Theory. 2020. Vol. 9, N 2. P. 301–339. https://doi.org/10.3934/eect.2020007
  19. Oskolkov A. P. Theory of nonstationary flows of Kelvin-Voigt fluids // Journal of Mathematical Sciences. 1985. Vol. 28. P. 751–758. https://doi.org/10.1007/BF02112340
  20. Rajagopal K. R., Tao L. Mechanics of Mixtures. Singapore : World Scientific, 1995. 195 p.
  21. Zakora D. A. Spectral properties of operators in the problem on normal oscillations of a mixture of viscous compressible fluids // Journal of Mathematical Sciences. 2024. Vol. 283, N 2. P. 231–254. https://doi.org/10.1007/s10958-024-07252-4
  22. Zakora D. A. Spectral properties of the operator in the problem of oscillations in a mixture of viscous compressible fluids // Differential Equations. 2023. Vol. 59, N 4. P. 473–490. https://doi.org/10.1134/S0012266123040043

Полная версия (русская)