рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2025. Том 53

Задача с препятствием для разрывной стилтьесовской струны

Автор(ы)

М. Б. Зверева1,2

1 Воронежский государственный университет, Воронеж, Российская Федерация 

2 Воронежский государственный педагогический университет, Воронеж, Российская Федерация

Аннотация
Рассматривается краевая задача с нелинейным краевым условием и разрывными решениями. Эта задача моделирует процесс деформаций разрывной стилтьесовской струны (цепочки из стилтьесовских струн, соединенных между собой пружинами) под воздействием внешней нагрузки. Форма струны описывается интегро-дифференциальным уравнением с производными по мере и обобщенным интегралом Стилтьеса. Такое представление позволяет проводить поточечный анализ как решений, так и соотношений. Предполагается, что на левом конце струнной цепочки установлено препятствие на перемещение. В зависимости от приложенной внешней силы соответствующий конец цепочки либо соприкоснется с граничными точками препятствия, либо останется свободным. Это порождает нелинейное краевое условие, поскольку заранее неизвестно, как поведет себя решение. Доказаны теоремы существования и единственности решения, получена формула представления решения, найдены нагрузки, при которых происходит соприкосновение конца цепочки с граничными точками препятствия, и изучена зависимость решения от размера препятствия
Об авторах
Зверева Маргарита Борисовна, канд. физ.-мат. наук, доц., Воронежский государственный университет, Воронеж, 394018, Российская Федерация; Воронежский государственный педагогический университет, Воронеж, 394043, Российская Федерация, margz@rambler.ru
Ссылка для цитирования
Zvereva M. Obstacle Problem for a Discontinuous Stieltjes String // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2025. Т. 53. C. 35–50. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.53.35
Ключевые слова
задача с препятствием, вариация, мера, интеграл Стилтьеса, нелинейное краевое условие
УДК
517.927.21
MSC
34A06, 34A36, 34B15, 28A25
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.53.35
Литература
  1. Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. Texts and Monogr. Phys., Springer-Verlag, 1988. 
  2. Atkinson F.V. Discrete and continuous boundary problems. Math. Sci. Eng., Academic Press, 1964. 
  3. Figalli A., Fern´andez-Real X. On the obstacle problem for the 1D wave equation. Math. Eng., 2020, vol. 2, no. 4, pp. 584–597. https://doi.org/10.48550/arXiv.1912.02539 
  4. Kamenskii M., Wen Ch.-F., Zvereva M. On a variational problem for a model of a Stieltjes string with a backlash at the end. Optimization, 2020, vol. 69, no. 9, pp. 1935–1959. https://doi.org/10.1080/02331934.2019.1702986 
  5. Kolmogorov A.N., Fomin A.N. Elements of the theory of functions and functional analysis. Academic Press, 1961. 
  6. Kulaev R.Ch. On the oscillation property of Green’s function of a fourth-order discontinuous boundary-value problem. Math. Notes, 2016, vol. 100, no. 3, pp. 391–402. https://doi.org/10.1134/S0001434616090054
  7. M´arquez A.I., Slav´ık A., Tverd´y M. Duality for Stieltjes differential and integral equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2023, vol. 519, no. 126789. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126789. 
  8. Pokornyi Yu. V. The Stieltjes integral and derivatives with respect to the measure in ordinary differential equations. Doklady Math., 1999, vol. 59, no. 1, pp. 34–37. 
  9. Pokornyi Yu.V., Zvereva M.B., Shabrov S.A., Davydova M.B. Stieltjes differential in impulsive problems with discontinuous solutions. Doklady Math., 2009, vol. 80, no. 2, pp. 743–745. https://doi.org/10.1134/S1064562409050299 
  10. Pokornyi Yu.V., Zvereva M.B., Shabrov S.A. Sturm-Liouville oscillation theory for impulsive problems. Russian Mathematical Surveys, 2008, vol. 63, no. 1, pp. 109–153. https://doi.org/10.1070/RM2008v063n01ABEH004502 
  11. Raynaud de Fitte P., Kamenskii M., Wong N.-Ch., Zvereva M. A model of deformations of a discontinuous Stieltjes string with a nonlinear boundary condition. Journal of Nonlinear and Variational Analysis, 2021, vol. 5, no. 5, pp. 737–759. https://doi.org/10.23952/jnva.5.2021.5.08 
  12. Shabrov S.A., Ilina O.M., Shaina E.A., Chechin D.A. On the growth speed of own values for the fourth order spectral problem with Radon – Nikodim derivatives. Journal of Physics: Conference Series. Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems, 2020, no. 012044. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1479/1/012044
  13. Tolstonogov A. BV sweeping process involving prox-regular sets and a composed perturbation. Set-Valued Var. Anal, 2024, vol. 32, no. 2. https://doi.org/10.1007/s11228-024-00705-7 
  14. Tolstonogov A.A. Local existence conditions for sweeping process solutions. Sb. Math, 2019, vol. 210, no. 9, pp. 1305–1325. https://doi.org/10.1070/SM9122
  15. Tverd´y M. Differential and integral equations in the space of regulated functions. Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 2002, vol. 25, pp. 1–104. 
  16. Zvereva M.B., Kamenskii M.I. Problem on string system vibrations on star-shaped graph with nonlinear condition at node. Ufa Math. J., 2024, vol. 16, no. 1, pp. 34–52. https://doi.org/10.13108/2024-16-1-3

Полная версия (english)