рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2025. Том 53

О существовании приближенных решений вариационных задач в нелинейной теории упругости

Автор(ы)

В. А. Клячин1,2, В. В. Кузьмин1,2 

1 Волгоградский государственный университет, Волгоград, Российская Федерация 

2 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Обосновываются приближенные методы решения задач в нелинейной теории упругости. Используется вариационный подход, предложенный Дж. Боллом, в котором решение задачи определения формы деформированного тела сводится к решению соответствующей вариационной задачи на минимум функционала запасенной энергии. При этом конкретный вид этого функционала задается типом упругого материала и записывается в интегральной форме. Предлагается конструкция приближенного решения с использованием триангуляции Делоне полигональной области в классе кусочно-линейных невырожденных отображений. Вводится класс отображений, допускающих такое приближение. Доказано, что построенные кусочно-линейные отображения образуют минимизирующую последовательность для функционала запасенной энергии. Также найдены условия, при которых эта последовательность сходится к точному решению исходной вариационной задачи в подходящем классе отображений. Отдельно рассмотрен случай функционалов с линейным ростом — получено интегральное неравенство, обеспечивающее существование приближенного решения. Отмечено, что аналогичные условия естественным образом возникают и для функционалов типа площади в задачах существования капиллярных поверхностей и поверхностей с предписанной средней кривизной.
Об авторах

Клячин Владимир Александрович, д-р физ.-мат. наук, проф., Волгоградский государственный университет, Волгоград, 400062, Российская Федерация, klchnv@mail.ru, klyachin.va@volsu.ru

Кузьмин Владислав Вячеславович, аспирант, Волгоградский государственный университет, Волгоград, 400062, Российская Федерация, vlad329@yandex.ru

Ссылка для цитирования
Клячин В. А., Кузьмин В.В. О существовании приближенных решений вариационных задач в нелинейной теории упругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2025. Т. 53. C. 51–68. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.53.51
Ключевые слова
функционал запасенной энергии, вариационная задача, триангуляция, кусочно-линейная аппроксимация, численные методы
УДК
51-7 + 517.9 + 519.652
MSC
65D25,65D05,49J35, 65K10, 41A05
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.53.51
Литература
  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. 636 с. 
  2. Болучевская А. В. Сохранение ориентации симплекса при квазиизометричном отображении // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1-2. С. 20–23. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2013-13-1-2-20-23
  3. Водопьянов С. К., Молчанова А. О. Вариационные задачи нелинейной теории упругости в некоторых классах отображений с конечным искажением // Доклады Академии наук. 2015. № 465, № 5. С. 523–526. https://doi.org/10.7868/S086956521535008X 
  4. Гилева Л. В., Шайдуров В. В. Обоснование асимптотической устойчивости алгоритма триангуляции трехмерной области // Сибирский журнал вычислительной математики. 2000. Т. 3, № 2. С. 123–136. 
  5. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М. : Мир, 1979. 576 с. 
  6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1984. 752 с. 
  7. Клячин В. А. Оценки кусочно-линейной аппроксимации производных функций классов Соболева // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 49. C. 78–89. https://doi.org/10.26516/1997- 7670.2024.49.78 
  8. Клячин В. А., Кузьмин В. В., Хижнякова Е. В. Метод триангуляции для приближенного решения вариационных задач нелинейной теории упругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 45. С. 55—73. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.45.54
  9. Клячин В. А., Чебаненко Н. А. О линейных прообразах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. 2014. № 3 (22). С. 56–60. 
  10. Прохорова М. Ф. Проблемы гомеоморфизма, возникающие в теории построения сеток // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 1. С. 112–129. https://doi.org/10.1134/S0081543808050155 
  11. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М. : Наука, 1988. 336 с. 
  12. Сьярле Ф. Математическая теория упругости : пер. с англ. М. : Мир, 1992. 472 с. 
  13. Ткачев В. Г. Некоторые оценки средней кривизны графиков над областями в R𝑛 // Доклады АН СССР. 1990. Т. 314, № 1. C. 140–143. 
  14. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория / с добавл. Х. Уэнта ; пер. с англ. З. Я. Шапиро ; под ред. А. Т. Фоменко. М. : Мир, 1989. 310 с. 
  15. Ball J. M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1977. N 63. P. 337–403. 
  16. Ball J. M. Progress and puzzles in nonlinear elasticity // Poly-, Quasi- and Rank-One Convexity in Applied Mechanics / Schr¨oder J., Neff P. (eds.) ; CISM International Centre for Mechanical Sciences. Vol. 516. Vienna : Springer, 2010. 
  17. Giusti E. Minimal surfaces and functions of bounded variation. Birkhauser Boston Inc., 1984. 
  18. Morrey Jr. C. B. Quasi-convexity and the lower semicontinuity of multiple integrals // Pacific J. Math. 1952. N 2. P. 25–53. 
  19. Optimal control of soft materials using a Hausdorff distance functional. SIAM / R. Ortigosa, J. Mart´ınez-Frutos, C. Mora-Corral, P. Pedregal, F. Periago // Journal on Control and Optimization. 2021. Vol. 59, N 1. P. 393–416. https://doi.org/10.13140/RG.2.2.25255.50084

Полная версия (русская)