рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2024. Том 50

О методе коллокации при построении решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода с использованием многочленов Чебышева и Лежандра

Автор(ы)
О. В. Гермидер1, В. Н. Попов1

1Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, Архангельск, Российская Федерация

Аннотация
Предлагается матричная реализация метода коллокации для построения решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода с применением систем ортогональных полиномов Чебышева первого рода и полиномов Лежандра. Подынтегральная функция в рассматриваемых уравнениях представляется в виде частичной суммы ряда по этим многочленам. В качестве точек коллокаций выбираются корни полиномов Чебышева и Лежандра. С использованием матричных и интегральных преобразований, свойств конечных сумм произведений этих полиномов и весовых функций в нулях соответствующих многочленов со степенью, равной числу узлов, интегральные уравнения приводятся к системам линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений искомых функций в этих точках. В результате решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода находятся путем полиномиальных интерполяций полученных значений функций в точках коллокаций с использованием обратных матриц, элементы которых записываются на основе ортогональных соотношений для этих полиномов. Элементы интегральных матриц также приводятся в явном виде. Получены оценки погрешностей построенных решений по бесконечной норме. Представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов, которые демонстрируют эффективность использованного метода коллокации.
Об авторах

Гермидер Оксана Владимировна, канд. физ.-мат. наук, Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, Архангельск, 163002, Российская Федерация, o.germider@narfu.ru

Попов Василий Николаевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, Архангельск, 163002, Российская Федерация, v.popov@narfu.ru

Ссылка для цитирования
Гермидер О. В., Попов В. Н. О методе коллокации при построении решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода с использованием многочленов Чебышева и Лежандра // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 50. C. 19–35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.19
Ключевые слова
полиномиальная интерполяция, метод коллокации, многочлены Чебышева, многочлены Лежандра, интегральные уравнения
УДК
519.642.5
MSC
65R20
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.19
Литература
  1. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3, ч. 2. М. : ГТТИ. 1934. 318 с.
  2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М. : Физматгиз, 1966. 664 с.
  3. Карчевский А. Л. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода типа свертки методом квадратурных сумм // Сибирский журнал индустриальной математики. 2020. Т. 23, № 3, С. 40–52. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2020.23.304
  4. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М. : Наука, 1979. 416 с.
  5. Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to theory and applications. Cambridge : Cambridge University Press, 2017. 387 p.
  6. Hildebrand F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York : Dover Publications, 1987. 704 p.
  7. Hu X., Wang Z., Hu B. A collocation method based on roots of Chebyshev polynomial for solving Volterra integral equations of the second kind // Applied Mathematics Letters. 2023. Vol. 29, N 108804. https://doi.org/10.1016/j.aml.2023.108804
  8. Ji T., Hou J., Yang C. The operational matrix of Chebyshev polynomials for solving pantograph-type Volterra integro-differential equations // Adv. Contin. Discrete Models. 2022. Vol. 57. P. 1–16. https://doi.org/10.1186/s13662-022-03729-1
  9. Khidir A. A. A new numerical technique for solving Volterra integral equations using Chebyshev spectral method // Math. Probl. Eng. 2021. Vol. 2021. P. 1–11. https://doi.org/10.1155/2021/9230714
  10. Kress R. Linear Integral Equations. New York : Springer, 2013. 412 p.
  11. Numerical solution of two-dimensional linear and nonlinear Volterra integral equations using Taylor collocation method / H. Laib, A. Boulmerka, A. Bellour, F. Birem // J. Comput. Appl. Math. 2023. Vol. 417, N 114537. https://doi.org/10.1016/j.cam.2022.114537
  12. Liang H. Discontinuous Galerkin approximations to second-kind Volterra integral equations with weakly singular kernel // Appl. Numer. Math. 2022. Vol. 179. P. 170–182. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2022.04.019
  13. Liu S., Trenkler G. Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products // International Journal of Information and Systems Sciences. 2008. Vol. 4, N 1. P. 160–177.
  14. Loh J. R., Phang C., A new numerical scheme for solving system of Volterra integro-differential equation // Alex. Eng. J. 2018. Vol. 57, N 2. P. 1117–1124. https://doi.org/10.1016/j.aej.2017.01.021
  15. Mandal M., Nelakanti G. Superconvergence results of Legendre spectral projection methods for Volterra integral equations of second kind // Comp. Appl. Math. 2018. Vol. 37. P. 4007–4022. https://doi.org/10.1007/s40314-017-0563-5
  16. Mason J., Handscomb D. Chebyshev polynomials. Florida : CRC Press, 2003. 335 p.
  17. Mirzaee F., Bimesl S. A new Euler matrix method for solving systems of linear Volterra integral equations with variable coefficients // J. Egypt. Math. Soc. 2014. Vol. 22, N 2. P. 238–248. https://doi.org/10.1016/j.joems.2013.06.016
  18. Shen J., Tang T., Wang L. Spectral Methods. Heidelberg : Springer Berlin, 2011. 472 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-71041-7
  19. Solodusha S. V. On a class of the first kind Volterra equations in a problem of identification of a linear nonstationary dynamic system // Russian Universities Reports. Mathematics. 2023. Vol. 28, N 144. P. 406–413. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-144-406-413
  20. Tang T., Xu X., Cheng J. On spectral methods for Volterra integral equations and the convergence analysis // J. Comput. Math. 2008. Vol. 26, N 6. P. 825–837.
  21. Tynda A. N., Noeiaghdam S., Sidorov D. N. Polynomial spline collocation method for solving weakly regular Volterra integral equations of the first kind // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 39. C. 62–79. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.39.62
  22. Wazwaz A. M. Linear and Nonlinear Integral Equations. Berlin : Springer, 2011. 639 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-21449-3

Полная версия (русская)