рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2024. Том 47

Об алгебраических и определимых замыканиях для теорий абелевых групп

Автор(ы)
Ин. И. Павлюк1

1Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Отмечено, что при классификации абелевых групп и их элементарных теорий возникает ряд характеристик, описывающих те или иные особенности рассматриваемых объектов. Среди этих характеристик особую роль играют шмелевские инварианты, задающие возможности делимости элементов, порядков элементов, размерности подгрупп и позволяющие описывать данные абелевы группы с точностью до элементарной эквивалентности. Указано, что в терминах шмелевских инвариантов представляются синтаксические свойства абелевых групп, т. е. свойства, зависящие лишь от их элементарных теорий. На базе шмелевских инвариантов приведено описание поведения операторов алгебраического и определимого замыканий на основе двух характеристик: степеней алгебраизации и разницы между алгебраическими и определимыми замыканиями. Тем самым изучены и описаны возможности для алгебраических и определимых замыканий, адаптированные к теориям абелевых групп. Доказана теорема о трихотомии для степеней алгебраизации: либо эта степень минимальная, если в стандартных моделях, кроме единственной двухэлементной группы, нет положительно конечного числа циклических и квазициклических частей, либо степень положительная и натуральная, если в стандартной модели нет положительного конечного числа циклических и квазициклических частей, кроме единственной копии двухэлеметной группы и некоторой конечной прямой суммы конечных циклических частей, и степень бесконечна, если стандартная модель содержит неограниченное число неизоморфных конечных циклических частей или положительное конечное число копий квазиконечных частей. Кроме того, установлена дихотомия значений разности между алгебраическими замыканиями и определимыми замыканиями для абелевых групп, определяемых шмелёвскими инвариантами для циклических частей. В частности, показано, что абелевы группы без кручения квазиурбаниковы.
Об авторах
Павлюк Инесса Ивановна, канд. физ.-мат. наук, Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, 630073, Российская Федерация, pavlyuk@corp.nstu.ru
Ссылка для цитирования
Pavlyuk In. I. On Algebraic and Definable Closures for Theories of Abelian Groups // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 47. C. 107–118. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.47.107
Ключевые слова
алгебраическое замыкание, определимое замыкание, степень алгебраизации, абелева группа
УДК
510.67:512.541
MSC
03C52, 03C60, 20K21
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.47.107
Литература
  1. Eklof P. C., Fischer E. R. The elementary theory of abelian groups // Annals of Mathematical Logic. 1972. Vol. 4. P. 115–171.
  2. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М. : Физматлит, 2011. 356 с.
  3. Fuchs L. Infinite Abelian groups. Vol. I. New York ; London : Academic Press, 1970. 289 p.
  4. Fuchs L. Infinite Abelian groups. Vol. II. New York ; London, Academic Press, 1973. 364 p.
  5. Hodges W. Model Theory. Cambridge : Cambridge University Press, 1993. 772 p.
  6. Kargapolov M. I., Merzljakov J. I. Fundamentals of the Theory of Groups. New York : Springer, 2011. 221 p.
  7. Laffey T. J., MacHale D. Automorphism orbits of finite groups // Austral. Math. Soc. (Series A). 1986. Vol. 40. P. 253–260.
  8. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Ranks for families of theories of abelian groups // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2019. Vol. 28. P. 95–112. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.95
  9. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Approximations for theories of abelian groups // Mathematics and Statistics. 2020. Vol. 8, N 2. P. 220–224. https://doi.org/10.13189/ms.2020.080218
  10. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Formulas and properties for families of theories of abelian groups // 2021. Vol. 36. P. 95–109. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.36.95
  11. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On algebraic and definable closures for finite structures // Algebra and model theory 14. Collection of papers. Novosibirsk : NSTU, 2023. P. 87–94.
  12. Pillay A. Geometric Stability Theory. Oxford : Clarendon Press, 1996. 361 p.
  13. Popkov R. A. Distribution of countable models for the theory of the group of integers // Siberian Mathematical Journal. 2015. Vol. 56, N 1. P. 185–191. https://doi.org/10.1134/S0037446615010152
  14. Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models. Amsterdam : North-Holland, 1990. 705 p.
  15. Sudoplatov S. V. Algebraic closures and their variations // arXiv:2307.12536 [math.LO], 2023. 16 p.
  16. Szmielew W. Elementary properties of Abelian groups // Fundamenta Mathematicae. 1955. Vol. 41. P. 203–271.
  17. Tent K., Ziegler M. A Course in Model Theory. Cambridge : Cambridge University Press, 2012. 248 p.
  18. Vinogradov I.M. Elements of Number Theory. Mineola ; New York : Dover Publications, Inc., 1954. 230 p.
  19. Zil’ber B.I. Hereditarily transitive groups and quasi-Urbanik structures // American Mathematical Society Translations: Series 2. 1999. Vol. 195. P. 165–186.

Полная версия (english)