рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2023. Том 46

Принцип максимума Понтрягина и непрямой метод спуска в задаче оптимального импульсного управления нелокальным уравнением переноса

Автор(ы)
М. В. Старицын1, Н. И. Погодаев1, Е. В. Гончарова1

1Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, Российская Федерация

Аннотация
Рассматривается вырожденная задача оптимального управления нелокальным транспортным уравнением на пространстве вероятностных мер, в которой зависимость векторного поля от переменной управления в определенном смысле эквивалентна аффинной, а множество управляющих воздействий ограничено лишь интегрально (не ограничено по норме). Показано, что поставленная задача допускает импульсно-траекторное расширение в терминах так называемой разрывной замены времени. Это расширение дает корректную постановку «ослабленной» вариационной задачи в классе управлений, ограниченных как в поточечном, так и в интегральном смысле. Для ослабленной задачи получен принцип максимума Понтрягина в форме, новой для теории управления в среднем поле, с выделенной сопряженной системой линейных законов баланса на пространстве знакопеременных мер. В отличие от канонической формулировки принципа максимума Понтрягина в терминах гамильтонова уравнения на кокасательном расслоении фазового пространства, решение которого всегда сингулярно, полученный результат допускает интерпретацию в терминах плотности соответствующих распределений и позволяет сформулировать непрямой метод последовательных приближений «градиентного» типа. Представлена одна из реализаций такого метода — алгоритм наискорейшего спуска в классе слабых вариаций управления с внутренней процедурой линейного поиска по множителю Лагранжа, отвечающему интегральному ограничению на управление. Показано, что алгоритм сходится с точностью до подпоследовательности к экстремальному процессу.
Об авторах

Старицын Максим Владимирович, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, 664033, Российская Федерация, starmax@icc.ru

Погодаев Николай Ильич, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, 664033, Российская Федерация, nickpogo@gmail.com

Гончарова Елена Владимировна, канд. физ.-мат. наук, доц., вед. науч. сотр., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, 664033, Российская Федерация, goncha@icc.ru

Ссылка для цитирования
Старицын М. В., Погодаев Н. И., Гончарова Е. В. Принцип максимума Понтрягина и непрямой алгоритм спуска в задаче оптимального импульсного управления нелокальным уравнением переноса // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 46. C. 66–84. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.46.66
Ключевые слова
нелокальное уравнение неразрывности, оптимальное управление, импульсное управление, принцип максимума Понтрягина, алгоритм спуска
УДК
517.977
MSC
49J20
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.46.66
Литература
  1. Ambrosio L., Gigli N., Savare G. Gradient Flows: In Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Lectures in Mathematics ETH Zurich. Birkhauser, Boston, 2005.
  2. Averboukh Y. Viability theorem for deterministic mean field type control systems. Set-Valued Var. Anal., 2018, vol. 26, no. 4, pp. 993–1008. https://doi.org/10.1007/s11228-018-0479-2
  3. Averboukh Y., Khlopin D. Pontryagin maximum principle for the deterministic mean field type optimal control problem via the lagrangian approach, 2022. https://doi.org/10.48550/arXiv.2207.01892
  4. Bongini M., Fornasier M., Rossi F., Solombrino F. Mean-field Pontryagin maximum principle. J. Optim. Theory Appl., 2017, vol. 175, pp. 1–38. https://doi.org/10.1007/s10957-017-1149-5
  5. Bonnet B. A Pontryagin maximum principle in Wasserstein spaces for constrained optimal control problems. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2019, vol. 25, no. 52. https://doi.org/10.1051/cocv/2019044
  6. Bonnet B., Cipriani C., Fornasier M., Huang H. A measure theoretical approach to the mean-field maximum principle for training NeurODEs. Nonlinear Anal., 2023, vol. 227, pp. 113–161. https://doi.org/10.1016/j.na.2022.113161
  7. Bonnet B., Frankowska H. Necessary optimality conditions for optimal control problems in Wasserstein spaces. Appl. Math. Optim., 2021, vol. 84, pp. 1281–1330. https://doi.org/10.1007/s00245-021-09772-w
  8. Brezis H. Functional analysis, Sobolev spaces and Partial differential equations. Universitext. Springer New York, 2010.
  9. Cardaliaguet P., Delarue F., Lasry J.-M., Lions P.-L. The master equation and the convergence problem in mean field games. Ann. Math. Stud., vol. 201, Princeton, NJ, Princeton University Press, 2019.
  10. Carrillo J.A., Fornasier M., Toscani G., Vecil F. Particle, kinetic, and hydrodynamic models of swarming. In Mathematical modeling of collective behavior in socio-economic and life sciences. Birkhauser, Boston, MA, 2010, pp. 297–336. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4946-3_12
  11. Cavagnari G., Marigonda A., Nguyen K. T., Priuli F. S. Generalized control systems in the space of probability measures. Set-Valued Var. Anal., 2018, vol. 26, no. 3, pp. 663–691. https://doi.org/10.1007/s11228-017-0414-y
  12. Chertovskih R., Pogodaev N., and Staritsyn M. Optimal control of nonlocal continuity equations: numerical solution, 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.2212.06608
  13. Colombo R.M., Herty M., and Mercier M. Control of the continuity equation with a non local flow. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2011, vol. 17, no. 2, pp. 353–379. https://doi.org/10.1051/cocv/2010007
  14. Conn A., Scheinberg K., and Vicente L. Introduction to DerivativeFree Optimization. SIAM, 2009. https://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9780898718768
  15. Cristiani E., Frasca P., Piccoli B. Effects of anisotropic interactions on the structure of animal groups. Journal of mathematical biology, 2011, vol. 62, pp. 569–88. https://doi.org/10.1007/s00285-010-0347-7
  16. Cucker F., Smale S. Emergent behavior in flocks. IEEE Trans. Autom. Control, 2007, vol. 52, no. 5, 852–862. https://doi.org/10.1109/TAC.2007.895842
  17. Dobrushin R.L. Vlasov equations. Funct. Anal. Its Appl., 1979, vol. 13, pp.115–123. https://doi.org/10.1007/BF01077243
  18. Duchon M., Malicky P. A Helly theorem for functions with values in metric spaces. Tatra Mountains Mathematical Publications, 2009, vol. 44, no. 12, pp. 159–168. https://doi.org/10.2478/tatra.v44i0.48
  19. Holden H., Risebro N.H. Front tracking for hyperbolic conservation laws. Berlin, Springer, 2015, vol. 152.
  20. Karamzin D.Y., de Oliveira V.A., Pereira F.L., Silva G.N. On the properness of an impulsive control extension of dynamic optimization problems. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2015, vol. 21, no. 3, pp. 857–875. https://doi.org/10.1051/cocv/2014053
  21. Kyritsi-Yiallourou S.T., Papageorgiou N.S. Handbook of Applied Analysis, vol. 19 of Advances in Mechanics and Mathematics. Springer US, Boston, MA, 2009.
  22. Marigonda A., Quincampoix M. Mayer control problem with probabilistic uncertainty on initial positions. J. Differ. Equ., 2018, vol. 264; no. 5, pp. 3212–3252. https://doi.org/10.1016/j.jde.2017.11.014
  23. McShane E.J., Warfield R.B. On Filippov’s Implicit Functions Lemma. Proceedings of the American Mathematical Society, 1967, vol. 18, no. 1, pp. 41–47. https://doi.org/10.2307/2035221
  24. Miller B.M., and Rubinovich E.Y. Impulsive control in continuous and discretecontinuous systems. New York, Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2003.
  25. Piccoli B., Rossi F. Measure-theoretic models for crowd dynamics. In Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. Springer, Basel, 2018, pp. 137–165. https://doi.org/10.1007/978-3-030-05129-7_6
  26. Pogodaev N., Staritsyn M. Impulsive control of nonlocal transport equations. J. Differ. Equ., 2020, vol. 269, no. 4, pp. 3585–3623, https://doi.org/10.1016/j.jde.2020.03.007
  27. Pogodaev, N. I., and Staritsyn, M. V. Nonlocal balance equations with parameters in the space of signed measures. Sbornik: Mathematics, vol. 213, no. 1, pp. 69–94. https://doi.org/10.4213/sm9516
  28. Srochko V.A. Iterative methods for solving optimal control problems. Moscow, Fizmatlit Publ., 2000. (in Russian)
  29. Weinan E., Han J., and Li Q. A mean-field optimal control formulation of deep learning. Res. Math. Sci., 2019, vol. 6. https://doi.org/10.1007/s40687-018-0172-y
  30. Staritsyn M., Pogodaev N. On a class of problems of optimal impulse control for a continuity equation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 229–244. (in Russian) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-229-244
  31. Staritsyn M.V., Maltugueva N.S., Pogodaev N.I., Sorokin S.P. Impulsive control of systems with network structure describing spread of political influence. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2018, vol. 25, pp. 126–143. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.25.126

Полная версия (русская)