рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2023. Том 45

Метод триангуляции для приближенного решения вариационных задач нелинейной теории упругости

Автор(ы)
В. А. Клячин1,2, В. В. Кузьмин1,2, Е. В. Хижнякова1,2

1Волгоградский государственный университет, Волгоград, Российская Федерация

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Рассматривается вариационная задача на минимум функционала запасенной энергии в рамках нелинейной теории упругости с учетом допустимых деформаций. Предлагается алгоритм решения этой задачи, основанный на использовании полигонального разбиения расчетной области методом триангуляции Делоне. Найдены условия сходимости метода к локальному минимуму в классе кусочно-аффинных отображений.
Об авторах

Клячин Владимир Александрович, д-р физ.-мат. наук, проф., Волгоградский государcтвенный университет, Волгоград, 400062, Российская Федерация, klchnv@mail.ru

Кузьмин Владислав Вячеславович, аспирант, Волгоградский государственный университет, 400062, Российская Федерация, Волгоград, vlad329@yandex.ru

Хижнякова Екатерина Владимировна, ст. преп., Волгоградский государственный университет, 400062, Российская Федерация, Волгоград, kate1995yakovleva@yandex.ru

Ссылка для цитирования
Клячин В. А., Кузьмин В. В., Хижнякова Е. В. Метод триангуляции для приближенного решения вариационных задач нелинейной теории упругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 45. C. 54–72. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.45.54
Ключевые слова
функционал запасенной энергии, вариационная задача, метод градиентного спуска, триангуляция, метод конечных элементов
УДК
517.97
MSC
49J35, 65K10
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.45.54
Литература
  1. Болучевская А. В. Сохранение ориентации симплекса при квазиизометричном отображении // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1-2. С. 20–23. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2013-13-1-2-20-23
  2. Водопьянов С. К., Молчанова А. О. Вариационные задачи нелинейной теории упругости в некоторых классах отображений с конечным искажением // Доклады Академии наук. 2015. Т. 465, № 5. С. 523–526. https://doi.org/10.7868/S086956521535008X
  3. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М. : Мир, 1979. 576 с.
  4. Делоне Б. Н. Геометрия положительных квадратичных форм // Успехи математических наук. 1937. Вып. 3. С. 16–62.
  5. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксимационные свойства // Известия вузов. Математика. 2012. № 1. С. 31–39. https://doi.org/10.3103/S1066369X12010045
  6. Клячин В. А., Пабат Е. А. 𝐶1-аппроксимация поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13, № 2. С. 69–78.
  7. Клячин В. А., Чебаненко Н. А. О линейных прообразах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. 2014. №3 (22). С. 56–60.
  8. Клячин В. А. О многомерном аналоге примера Шварца // Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 4. С. 41–48. https://doi.org/10.4213/im6845
  9. Клячин В. А. Модифицированное условие пустой сферы Делоне в задаче аппроксимации градиента // Известия РАН. Серия математическая. 2016. Т. 80, № 3. С. 95–102. https://doi.org/10.4213/im8350
  10. Молчанова А. О. Вариационно-аппроксимативный подход к динамическим задачам теории упругости на новом классе допустимых деформаций // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2016. Т. 16, № 5. С. 55–60. https://doi.org/10.17377/PAM.2016.16.305
  11. Прохорова М. Ф. Проблемы гомеоморфизма, возникающие в теории построения сеток // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 1. С. 112–129. https://doi.org/10.1134/S0081543808050155
  12. Сьярле Ф. Математическая теория упругости : пер. с англ. М. : Мир, 1992. 472 с.
  13. Ball J. M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1977. N 63. P. 337–403.
  14. Delaunay B. N. Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi // Известия АН СССР. 1934. № 6. С. 793–800.
  15. Optimal control of soft materials using a Hausdorff distance functional / R. Ortigosa, J. Martinez-Frutos, C. Mora-Corral, P. Pedregal, F. Periago // SIAM Journal on Control and Optimization. 2021. Vol. 59, N 1. P. 393–416. https://doi.org/10.13140/RG.2.2.25255.50084
  16. Vodopyanov S. K., Molchanova A. Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity // Calculus of Variations and PDE. 2020. Vol. 59. P. 1–25. https://doi.org/10.1007/s00526-019-1671-4

Полная версия (русская)