рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2023. Том 43

Эллиптические уравнения со сдвигами произвольных направлений в полупространстве

Автор(ы)
В. В. Лийко1, А. Б. Муравник1

1Российский университет дружбы народов, Москва, Российская Федерация

Аннотация
Исследуется задача Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с операторами, представляющими собой суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдвига в произвольных направлениях, параллельных краевой гиперплоскости. На краевую функцию задачи накладывается условие суммируемости. Указанные уравнения, существенно обобщающие классические эллиптические уравнения в частных производных, возникают в различных моделях математической физики, для которых имеют место нелокальные и (или) неоднородные свойства процесса или среды: теория многослойных пластин и оболочек, теория диффузионных процессов, биоматематические приложения, модели нелинейной оптики и др. В теоретическом плане интерес к таким уравнениям обусловлен их нелокальной природой — они связывают между собой значения неизвестной функции (и ее производных) не в одной точке, а в разных, что делает неприменимыми многие классические методы.

Для рассматриваемой задачи устанавливается разрешимость в смысле обобщенных функций, строится интегральное представление решения формулой пуассоновского типа, доказывается его бесконечная гладкость вне краевой гиперплоскости и его равномерное стремление к нулю (вместе со всеми его производными) при стремлении времениподобной независимой переменной к бесконечности. Доказывается степенная оценка скорости указанного равномерного затухания решения и каждой его производной.

Об авторах

Лийко Виктория Владимировна, канд. физ.-мат. наук, Российский университет дружбы народов, Российская Федерация, 117198, г. Москва, vikalijko@gmail.com

Муравник Андрей Борисович, д-р физ.-мат. наук, Российский университет дружбы народов, Российская Федерация, 117198, г. Москва, amuravnik@mail.ru

Ссылка для цитирования
Liiko V. V., Muravnik A. B. Elliptic Equations with Arbitrarily Directed Translations in Half-Spaces // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 43. C. 64–77. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.43.64
Ключевые слова
дифференциально-разностные уравнения, эллиптические уравнения, задача Дирихле в полупространстве, суммируемые краевые функции
УДК
517.9
MSC
35R10, 35J25
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.43.64
Литература
  1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши // Успехи математических наук. 1953. Т. 8. С. 3–54.
  2. Gorenflo R., Luchko Yu. F., Umarov S. R. On some boundary value problems for pseudo-differential equations with boundary operators of fractional order // Fract. Calc. Appl. Anal. 2000. Vol. 3. P. 453–468.
  3. Гуревич П. Л. Эллиптические задачи с нелокальными краевыми условиями и полугруппы Феллера // Современная математика. Фундаментальные направления. 2010. Т. 38. С. 3-173.
  4. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых дифференциально-разностных уравнений параболического типа // Доклады РАН. 2002. Т. 385. С. 604-607.
  5. Muravnik A. B. On Cauchy problem for parabolic differential-difference equations // Nonlinear Analysis. 2002. Vol. 51. P. 215-238. https://doi.org/10.1016/S0362-546X(01)00821-5
  6. Муравник А. Б. О задаче Дирихле в полуплоскости для дифференциальноразностных эллиптических уравнений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2016. Т. 60. С. 102-113.
  7. Муравник А. Б. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения общего вида в полупространстве // Математические заметки. 2021. Т. 110. С. 90-98. https://doi.org/10.4213/mzm13009
  8. Muravnik A. B. Half-plane differential-difference elliptic problems with generalkind nonlocal potentials // Complex Variables and Elliptic Equations. 2021. Vol. 67. P. 1101-1120. https://doi.org/10.1080/17476933.2020.1857372
  9. Муравник А. Б. Эллиптические уравнения со сдвигами общего вида в полупространстве // Математические заметки. 2022. Т. 111. С. 571-580. https://doi.org/10.4213/mzm13369
  10. Репников В. Д., Эйдельман С. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши // Доклады АН СССР. 1966. Т. 167. С. 298-301.
  11. Репников В. Д., Эйдельман С. Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Математический сборник. 1967. Т. 73 (115). С. 155-159.
  12. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М. : Изд-во МГУ, 1984.
  13. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. Basel-Boston-Berlin: Birkh¨auser, 1997.
  14. Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. С. 1394-1401.
  15. Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Analysis. 1998. Vol. 32. P. 261–278.
  16. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 26. C. 3–132.
  17. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. Т. 33. C. 3–179.
  18. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // Успехи математических наук. 2016. Т. 26. C. 3–112. https://doi.org/10.1070/RM9739
  19. Stein E. M., Weiss G. On the theory of harmonic functions of several variables. I: The theory of 𝐻𝑝 spaces // Acta Mathematica. 1960. Vol. 103. P. 25–62.
  20. Stein E. M., Weiss G. On the theory of harmonic functions of several variables. II: Behavior near the boundary // Acta Mathematica. 1961. Vol. 106. P. 137–174.
  21. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in anonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation // Chaos, Solitons, and Fractals. 1994. Vol. 4. P. 1701–1716.

Полная версия (english)