рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2023. Том 43

Задача определения ядер в двумерной системе уравнений вязкоупругости

Автор(ы)
Д. К. Дурдиев1,2, A. A. Болтаев1,3

1Институт математики Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан

2Бухарский государственный университет, Бухара, Узбекистан

3Северо-Кавказский центр математических исследований Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Российская Федерация

Аннотация
Для двумерной системы интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости в изотропной среде изучаются прямая и обратная задачи определения вектора напряжения и скорости частиц, а также диагональной матрицы эредитарности. Вначале система двумерных уравнений вязкоупругости была преобразована в систему линейных уравнений первого порядка. Таким образом, составленная система интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с помощью собственной матрицы была приведена к нормальной форме относительно временной и одной из пространственных переменных. Затем с помощью преобразования Фурье по другой пространственной переменной и интегрированием по характеристикам уравнений на основе начальных и граничных условий она была заменена системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, эквивалентной исходной задаче. Приведена теорема существования и единственности решения прямой задачи. Для решения обратной задачи с использованием интегральных уравнений прямой задачи и дополнительных условий построена замкнутая система интегральных уравнений для неизвестных функций и их некоторых линейных комбинаций. Далее к этой системе применяется метод сжимающих отображений (принцип Банаха) в классе непрерывных функций с экспоненциональной весовой нормой. Таким образом, доказывается глобальная теорема существования и единственности решений поставленных задач. Доказательство теорем носит конструктивный характер, т. е. с помощью полученных интегральных уравнений, например методом последовательных приближений, может быть построено решение задач.
Об авторах

Дурдиев Дурдимурод Каландарович, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт математики Академии наук Республики Узбекистан, Узбекистан, 100170, г. Ташкент, d.durdiyev@mathinst.uz

Болтаев Аслиддин Аскар Угли, Институт математики Академии наук Республики Узбекистан, Узбекистан, 100170, г. Ташкент, asliddinboltayev@mail.ru

Ссылка для цитирования
Д. К. Дурдиев, A. A. Болтаев Задача определения ядер в двумерной системе уравнений вязкоупругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 43. C. 31–47. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.43.31
Ключевые слова
гиперболическая система, начально-краевая задача, система уравнений вязкоупругости, интегральное уравнение, принцип сжимающих отображений
УДК
517.968.72
MSC
41A05, 41A15, 65D30, 65D32
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.43.31
Литература
  1. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М. : Наука, 1980. 242 с.
  2. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М. : Наука, Гл. ред. физ.- мат. лит., 1979.
  3. Дурдиев Д. К., Рахмонов А. А. Обратная задача для системы интегродифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость // Теоретическая и математическая физика. 2018. Т. 195, № 3. С. 491–506. https://doi.org/10.4213/tmf9480
  4. Дурдиев Д. К., Рахмонов А. А. Задача об определении двумерного ядра в системе интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругой пористой среды // Сибирский журнал индустриальной математики. 2020. Т. 23, № 2. C. 63–80. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2020.23.205
  5. Дурдиев Д. К., Турдиев Х. Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56, № 12. C. 1666-1675.
  6. Дурдиев У. Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных средах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2019. Т. 22, № 4 (80). С. 26–32. https://doi.org/10.33048/sibjim.2019.22.403
  7. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
  8. Романов В. Г. Задача об отыскании коэффициентов гиперболической системы // Дифференциалные уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 94–103.
  9. Романов В. Г. Оценки устойчивости решения в задаче об определении ядра уравнения вязкоупругости // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. 15, № 1. С. 86–98.
  10. Романов В. Г. Задача об определения ядра в уравнении вязкоупругости // Доклады Академии наук. 2012. Т. 446, № 1. С. 18-20.
  11. Тотиева Ж. Д. Одномерные обратные коэффициентные задачи анизотропной вязкоупругости // Сибирские электронные математические известия. 2019. Т. 6. С. 786–811. https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.053
  12. Тотиева Ж. Д. К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости // Владикавказский математический журнал. 2019. Т. 21, № 2. https://doi.org/10.23671/VNC.2019.2.32117
  13. Фалалеев М. В. О разрешимости в классе распределений вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика, 2020, Т. 34. С. 77–92. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.34.77
  14. Durdiev D. K., Rahmonov A. A. A 2D kernel determination problem in a visco-elastic porous medium with a weakly horizontally inhomogeneity // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43, N 15. P. 8776–8796. https://doi.org/10.1134/S1990478920020076
  15. Durdiev D. K., Totieva Z. D. The problem of determining the onedimensional kernel of viscoelasticity equation with a source of explosive type // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2020. Vol. 28, N 1. P. 43–52. https://doi.org/10.1515/JIIP-2018-0024
  16. Falaleev M. V. Convolutional integro-differential equations in Banach spaces with a Noetherian operator in the main part // Журнал СФУ. Серия: Математика и физика. 2022. Vol. 15, N 2. P. 150–161. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2022-15-2-150-161
  17. Janno J., Von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity // Math. Methods Appl. Sci. 1997. Vol. 20, N 4. P. 291–314. https://doi.org/10.1002/(SICI)1099-1476(19970310)20:4<291::AID-MMA860>3.0.CO;2-W
  18. Lorenzi A. An identification problem related to a nonlinear hyperbolic integrodifferential equation // Nonlinear Anal., Theory, Methods Appl. 1994. Vol. 22, N 1. P. 21–44.
  19. Romanov V. G. On the determination of the coefficients in the viscoelasticity equations // Siberian Math. J. 2014. V. 55. no. 3. P. 503-510.
  20. Safarov J. Sh. Global solvability of the one-dimensional inverse problem for the integro-differential equation of acoustics // Журнал СФУ. Серия: Математика и физика. 2018. Vol. 11, N 6. P. 753–63. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-753-763

Полная версия (русская)