рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2022. Том 42

Решения нелинейной параболической системы второго порядка, моделирующие движение диффузионной волны

Автор(ы)
А. Л. Казаков1,2, А. А. Лемперт1,2

1Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, Российская Федерация

2Иркутский национальный исследовательский технический университет, Иркутск, Российская Федерация

Аннотация
В статье, продолжающей большой цикл исследований авторов, рассмотрена нелинейная эволюционная параболическая система второго порядка, которая моделирует различные конвективные и диффузионные процессы в механике сплошных сред, включая массообмен в бинарной смеси. В гидрологии, экологии и математической биологии система применяется для описания процессов распространения загрязняющих примесей в воде и воздухе и популяционной динамики, включая взаимодействие двух различных биологических видов. Для указанной системы рассматриваются решения, имеющие тип диффузионной (тепловой) волны, распространяющейся по нулевому фону с конечной скоростью. При этом на линии, вдоль которой непрерывно стыкуются возмущенное и нулевое (невозмущенное) решения, система испытывает вырождение. Доказывается новая теорема существования и единственности в классе аналитических функций. Решение при этом имеет искомый тип и строится в виде характеристических рядов, сходимость которых доказывается методом мажорант. Также найдены два новых класса точных решений, построение которых за счет использования анзацев специального вида сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений, наследующей особенность от исходной постановки. Полученные результаты предполагается использовать для моделирования эволюции байкальской биоты и распространения загрязняющих примесей в воде Байкала вблизи населенных пунктов.
Об авторах

Казаков Александр Леонидович, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664003, г. Иркутск, kazakov@icc.ru

Лемперт Анна Ананьевна, канд. физ.-мат. наук, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664003, г. Иркутск, lempert@icc.ru

Ссылка для цитирования
Kazakov A. L.,Lempert A. A. Solutionsof theSecond-order Nonlinear Parabolic System Modeling the Diffusion Wave Motion // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 42. C. 43–58. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.42.43
Ключевые слова
параболические уравнения с частными производными, аналитическое решение, диффузионная волна, теорема существования, точное решение, математическое моделирование
УДК
517.957
MSC
35K40, 35K57
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.42.43
Литература
  1. Cовременные математические модели конвекции / В. К. Андреев, Ю. А. Гапоненко, О. Н. Гончарова, В. В. Пухначев. М. : Физматлит, 2008. 368 c.
  2. Fundamentals of heat and mass transfer / T. L. Bergman, A. S. Lavine, F. P. Incopera, D. P. Dewitt. New-York : John Wiley & Sons, 2011. 992 p.
  3. Курант Р. Уравнения с частными производными. М. : Мир, 1964. 830 с.
  4. DiBenedetto E. Degenerate Parabolic Equations. New-York : Springer-Verlag,1993. 388 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0895-2
  5. Filimonov M. Yu. Representation of solutions of boundary value problems for nonlinear evolution equations by special series with recurrently calculated coefficients // Journal of Physics: Conference Series. 2019. P. 012071. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1268/1/012071
  6. Gambino G., Lombardo M. C., Sammartino M., Sciacca V. Turing pattern formation in the Brusselator system with nonlinear diffusion // Physical Review E. 2013. Vol. 88. P. 042925. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.88.042925
  7. Казаков А. Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сибирские электронные математические известия. 2019. Т. 16. С. 1057–1068. https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.073
  8. Kazakov A. L., Kuznetsov P. A. Analytical Diffusion Wave-type Solutions to a Nonlinear Parabolic System with Cylindrical and Spherical Symmetry // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 37. С. 31–46. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.37.31
  9. Казаков А. Л., Кузнецов П. А. Об аналитических решениях одной специальной краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в полярных координатах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2018. Т. 21. № 2(74). С. 56–65. https://doi.org/10.17377/SIBJIM.2018.21.205
  10. Kazakov A. L., Kuznetsov P. A., Lempert A. A. Analytical solutions to the singular problem for a system of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type // Symmetry. 2020. Vol. 12, N. 6. P. 999. https://doi.org/10.3390/SYM12060999
  11. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф. Построение решений краевой задачи с вырождением для нелинейной параболической системы // Сибирский журнал индустриальной математики. 2021. Т. 24, № 4(88). С. 64–78. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2021.24.405
  12. Казаков А. Л., Орлов Св. С., Орлов С. С. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Сибирский математический журнал. 2018. Т. 59, № 3. С. 544–560. https://doi.org/10.17377/smzh.2018.59.306
  13. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Точные и приближенные решения вырождающейся системы реакция – диффузия // Прикладная механика и техническая физика. 2021. Т. 62, № 4. C. 169–180. https://doi.org/10.15372/PMTF20210417
  14. Казаков А. Л., Нефедова О. А., Спевак Л. Ф. Решение задач об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности методом граничных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, № 6. С. 1047–1062. https://doi.org/10.1134/S004446691906008
  15. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М. : Наука, 1967. 736 с.
  16. Murray J. Mathematical biology: I. An introduction, third edition. Interdisciplinary applied mathematics. Vol. 17. New York : Springer, 2002. 575 p.
  17. Perthame B. Parabolic equations in biology. Growth, reaction, movement and diffusion. New York : Springer, 2015. 211 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-19500-1
  18. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М. : Физматлит, 2002. 432 с.
  19. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. М. : Наука, 1987. 534 с.
  20. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М. : Физматлит, 2001. 576 с.
  21. Telch B. Global boundedness in a chemotaxis quasilinear parabolic predator–prey system with pursuit-evasion // Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2021. Vol. 59. Art. no. 103269. https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2020.103269
  22. Вабищевич П. Н. Монотонные схемы для задач конвекции-диффузии с конвективным переносом в различной форме // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021. Т. 61, № 1. C. 95-–107. https://doi.org/10.31857/S0044466920120157
  23. Vazquez J. L. The porous medium equation: Mathematical theory. Oxford : Clarendon Press, 2007. 648 p. https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198569039.001.0001
  24. Земсков Е. П. Неустойчивость Тьюринга в реакционно-диффузионных системах с нелинейной диффузией // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2013. Т. 144, № 4. С. 878–884.

Полная версия (english)