рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2022. Том 41

Виды предгеометрий кубических теорий

Автор(ы)
С. Б. Малышев1

1Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Описание видов геометрий является одной из основных задач при структурной классификации алгебраических систем. Помимо известных классических геометрий глубокое исследование основных видов предгеометрий и геометрий проводилось для классов сильно минимальных и 𝜔-стабильных структур. К этим исследованиям необходимо отнести прежде всего работы Б. И. Зильбера и Г. Черлина, Л. Харрингтона, А. Лахлана 1980-х гг. В начале 1980-х гг. Б. И. Зильбером была выдвинута известная гипотеза о том, что предгеометрии сильно минимальных теорий исчерпываются случаями тривиальных, аффинных и проективных предгеометрий. Эта гипотеза была опровергнута Э. Хрушовским, который предложил оригинальную конструкцию сильно минимальной структуры, не являющейся локально модулярной и для которой невозможно проинтерпретировать бесконечную группу. Исследование видов предгеометрий продолжает привлекать внимание специалистов по современной теории моделей, включая описание геометрий различных естественных объектов, в частности, матроидов Вамоса.

В настоящей работе дается классификация предгеометрий для кубических теорий с алгебраическим оператором замыкания. Устанавливается, что для предгеометрий ⟨𝑆, acl⟩ в кубических теориях выполняется свойство замены тогда и только тогда, когда модели теории не содержат бесконечных кубов, в частности, когда нет конечных кубов неограниченной размерности. В силу этого свойства мы вводим новые понятия 𝑐-размерности, 𝑐-предгеометрий, 𝑐-тривиальности, 𝑐-модулярности, 𝑐-проективности и 𝑐-локально конечности. Кроме того, доказываем теорему о дихотомии для типов 𝑐-предгеометрий.

Об авторах
Малышев Сергей Борисович, Новосибирский государcтвенный технический университет, Российская Федерация, 630073, г. Новосибирск, sergei2-mal1@yandex.ru
Ссылка для цитирования
Malyshev S. B. Kinds of Pregeometries of Cubic Theories // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 41. C. 140–149. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.140
Ключевые слова
предгеометрия, кубическая теория, 𝑐-предгеометрия, 𝑐-тривиальность, 𝑐-модулярность, 𝑐-проективность, 𝑐-локально конечность
УДК
510.67
MSC
03C30, 03C65, 51D05
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.140
Литература
  1. Berenstein A., Vassiliev E. On lovely pairs of geometric structures. Annals of Pure and Applied Logic, 2010, vol. 161, no. 7, pp. 866–878. https://doi.org/10.1016/j.apal.2009.10.004
  2. Berenstein A., Vassiliev E. Weakly one-based geometric theories. Symb. Logic, 2012, vol. 77, no. 2, pp. 392–422. https://doi.org/10.2178/jsl/1333566629
  3. Berenstein A., Vassiliev E. Geometric structures with a dense independent subset.Selecta Math., 2016, vol. 22, no. 1, pp. 191–225. https://doi.org/10.1007/s00029-015-0190-1
  4. Cherlin G.L., Harrington L., Lachlan A.H. 𝜔-categorical, 𝜔-stable structures. Annals of Pure and Applied Logic, 1986, vol. 28, pp. 103–135.https://doi.org/10.1016/0168-0072(85)90023-5
  5. Chang C.C., Keisler H.J. Model theory. Third edition of XLI 697. Studies in logic and the foundations of mathematics, vol. 73. Elsevier, 1990, 650 p. https://doi.org/10.1016/S0049-237X(13)72058-5
  6. Hodges W. Model theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 42. Cambridge University Press, 1994, 772 p.
  7. Hrushovski E. A new strongly minimal set. Annals of Pure and Applied Logic, 1993, vol. 62, pp. 147–166. https://doi.org/10.1016/0168-0072(93)90171-9
  8. Markhabatov N.D., Sudoplatov S.V. Topologies, ranks, and closures for families of theories. I Algebra and Logic, 2021, vol. 59, no. 6, pp. 437–455. https://doi.org/10.1007/s10469-021-09620-4
  9. Mukhopadhyay M.M., Vassiliev E. On the Vamos matroid, homogeneous pregeometries and dense pairs. Australian Journal of Combinatorics, 2019, vol. 75, no. 1,pp. 158–170.
  10. Pillay A. Geometric Stability Theory. Oxford, Clarendon Press Publ., 1996, 361 p.
  11. Sudoplatov S.V. Group polygonometries, Novosibirsk, NSTU Publ., 2013, 302 p.
  12. Sudoplatov S.V. Models of cubic theories. Bulletin of the Section of Logic, 2014, vol. 43, no. 1–2, pp. 19–34.
  13. Sudoplatov S.V. Closures and generating sets related to combinations of structures. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2016, vol. 16, pp. 131–144.
  14. Zilber B.I. The structure of models of 𝜔1-categorical theories. Proceedings of International Congress of Mathematicians, 35968. Warsaw, PWN, 1983.
  15. Zilber B.I. Uncountably categorical theories. AMS Translations of Mathematical Monographs, 1993, vol. 117.
  16. Zilber B.I. Strongly minimal countably categorical theories. Sibirsk Matematika Zhurnal, 1980, vol. 21, no. 2. pp. 98–112. https://doi.org/10.3828/extr.1980.21.2.98
  17. Zilber B.I. Strongly minimal countably categorical theories II. Sibirsk Matematika Zhurnal, 1984, vol. 25, no. 3, pp. 71–88. https://doi.org/10.1016/S0033-3182(84)73099-4

Полная версия (english)