¹Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация

Производящие функции и разностные уравнения представляют собой мощный аппарат исследования задач перечислительного комбинаторного анализа. В одномерном случае пространство решений разностного уравнения конечномерно. При переходе к многомерной ситуации возникают проблемы, связанные как с возможностью различных вариантов задания дополнительных условий на решение разностного уравнения (задача Коши), так и с описанием соответствующего пространства производящих функций.

Для разностных уравнений в рациональных конусах целочисленной решетки известны достаточные условия на многогранник Ньютона характеристического многочлена, обеспечивающие сохранение иерархии Стенли для производящих функций его решений. А именно, производящая функция является рациональной (алгебраической, D-финитной), если таковыми являются производящие функции начальных данных и правой части уравнения.

В работе предлагается подход для отыскания производящей функции решения разностного уравнения, основанный на возможности расширения рационального конуса, в котором ищутся решения уравнения до конуса, в котором выполняются достаточные условия сохранения иерархии Стенли. Кроме того, приведена интегральная формула, связывающая производящие функции решения в исходном и расширенном конусах.

Лейнартас Евгений Константинович, д-р физ.-мат. наук, доц., Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, lein@mail.ru

Яковлева Татьяна Игоревна, канд. физ.-мат. наук, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, t.neckrasova@gmail.com.

https://doi.org/10.26516/1997-7670. 2022.40.3

1. Лейнартас Е. К. Многомерная композиция Адамара и суммы с линейными ограничениями на индексы суммирования // Сибирский математический журнал. 1989. Т. 30, № 2. С. 102–107.

2. Лейнартас Е. К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 2. С. 335–340.

3. Лейнартас Е. К., Некрасова Т. И. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами в рациональных конусах целочисленной решетки // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57, № 1. С. 98–112. https://doi.org/10.17377/smzh.2016.57.108

4. Некрасова Т. И. Достаточные условия алгебраичности производящих функций решений многомерных разностных уравнений // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2013. Т. 6, № 3. С. 88–96.

5. Почекутов Д. Ю. Диагонали рядов Лорана рациональных функций // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 6. С. 1370–1383.

6. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции. М. : Мир, 2009. 767 с.

7. Яковлева Т. И. Корректность задачи Коши для многомерных разностных уравнений в рациональных конусах // Сибирский математический журнал. 2017. Т. 58, № 2. С. 468–480. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.218

8. Apanovich M. S., Leinartas E. K. On correctness of Cauchy problem for a polynomial difference operator with constant coefficients // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2018. Vol. 26. P. 3–15. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.3

9. Bousquet-M´elou M., Petkovˇsek M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case // Discrete Mathematics. 2000. Vol. 225. P. 51–75.

10. Djokoviˆc D. ˆZ. A properties of the Taylor expantion of rational function in several variables // J. of Math. Anal. and Appl. 1978. Vol. 66. P. 679–685.

11. Haustus M. L. T., Klarner D. A. The diagonal of a double power series // Duke Math. J. 1971. Vol. 38, № 2. P. 229–235.

12. Leinartas E. K., Yakovleva T. I. The Cauchy problem for multidimensional difference equations and the preservation of the hierarchy of generating functions of its solutions // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2018. Vol. 11, № 6. P. 712–722. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-712-722

13. Lipshitz L. D-Finite power series // Journal of Algebra. 1989. Vol. 122. P. 353–373.

14. Lyapin A. P., Chandragiri S. Generating functions for vector partition functions and a basic recurrence relation // Journal of Difference Equations and Applications. 2019. Vol. 25, № 7. P. 1052–1061. https://doi.org/10.1080/10236198.2019.1649396