В статье рассматривается задача оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений, в которой граничные условия определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Задача рассматривается в классе гладких управляющих воздействий. В силу данного условия невозможно доказать условие оптимальности типа принципа максимума Л. С. Понтрягина и классические условия оптимальности градиентного типа. Задачи такого рода возникают при моделировании динамики невзаимодействующих между собой популяций с учетом возрастного распределения особей. Независимыми переменными в этом случае являются возраст особей и время, в течение которого рассматривается процесс. Функции состояния процесса описывают возрастные плотности популяций. Целью задачи управления может быть достижение заданных плотностей популяций в конечный момент времени. Проблема идентификация функциональных параметров моделей может также рассматриваться как задача оптимального управления с квадратичным целевым функционалом. Для указанной задачи получено неклассическое необходимое условие оптимальности, которое основано на применении специальной вариации управления, обеспечивающей гладкость управляющих функций. Предложен метод улучшения допустимых управлений. Эффективность предлагаемого подхода проиллюстрирована примером.

Аргучинцев Александр Валерьевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Иркутский государственный университет, Российская Федерация, Иркутск, 664000, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)99-84-40, e-mail: arguch@math.isu.ru

Поплевко Василиса Павловна, канд. физ.-мат. наук, доц., Иркутский государственный университет, Российская Федерация, Иркутск, 664000, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)20-13-07, e-mail: vasilisa@math.isu.ru

Arguchintsev A.V., Poplevko V.P. An Optimal Control Problem by a Hyperbolic System with Boundary Delay // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 35. С. 3-17.

1. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление гиперболическими системами. М. : Физматлит, 2007. 186 с.
2. Arguchintsev A., Poplevko V. An optimal control problem by parabolic equation with boundary smooth control and an integral constraint // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2018. Vol. 8, N 2. P. 193–202. https://doi.org/10.3934/naco.2018011
3. Brogan W. Optimal Control Theory Applied to Systems Described by Partial Differential Equations // Advances in Control Systems. 1968. Vol. 6. P. 221–316.
4. Colombo G., Henrion R., Hoang N. D. and Mordukhovich B. S. Optimal control of sweeping processes over polyhedral controlled sets // J. Diff. Eqs. 2016. Vol. 260. P. 3397–3447. https://doi.org/10.1016/j.jde.2015.10.039
5. Faggian S., Gozzi F. On the dynamic programming approach for optimal control problems of PDE’s with age structure // Mathematical Population Studies. 2010. Vol. 11, N 3–4. P. 233–270. https://doi.org/10.1080/08898480490513625
6. Габасов Р., Чуракова С.В. О существовании оптимальных управлений в системах с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 3, № 12.С. 2067–2080.
7. Mordukhovich B. S. Optimal control of Lipschitzian and discontinuous differential inclusions with various applications // Proc. Inst. Math. Mech. Azer. Acad. Sci. 2019. Vol. 45. P. 52–74.
8. Mordukhovich B. S. Optimal control of differential inclusions, II: Sweeping // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2020. Vol. 31. P. 62–77. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.31.62
9. Sadek I. Optimal control of time-delay systems with distributed parameters // J Optim Theory Appl. 1990. Vol. 67. P. 567–585. https://doi.org/10.1007/BF00939650
10. Teo K. Existence of optimal controls for systems governed by second order linear parabolic partial delay-differential equations with first boundary conditions // J. Austral. Math. Soc. 1979. Vol. 21 (Series B). P. 21–36.
11. Teo K. Optimal control of systems governed by time-delayed, second-order, linear, parabolic partial differential equations with a first boundary condition // J Optim Theory Appl. 1979. Vol. 29. P. 437-481. https://doi.org/10.1007/BF00933144
12. Забелло Л. К теории необходимых условий оптимальности в системах с запаздыванием и производной от управления // Дифференциальные уравнения.1989, Т. 25, № 3. С. 371–379.