В статье представлен новый подход к построению обобщенных решений вырожденных интегро-дифференциальных уравнений сверточного типа в банаховых пространствах. Главная идея предлагаемой методики состоит в отказе от условия существования полного жорданова набора для фредгольмова оператора при старшей производной относительно операторного пучка, образованного остальными операторными коэффициентами дифференциальной части и операторным ядром интегральной составляющей уравнения. Условия накладываются на значения специально построенной оператор-функции на базисных элементах ядра фредгольмова оператора. При таком подходе дифференциальная часть уравнения кроме старшей производной может включать любую комбинацию младших производных, что позволяет с единых позиций рассматривать сверточные интегро-дифференциальные уравнения без специального учета структуры его операторного пучка. Предложенный метод является обобщением способа, основанного на использовании жордановых наборов фредгольмовых операторов, а в случае существования последних совпадает с ним. Обобщенные решения строятся в виде свертки фундаментальной оператор-функции, соответствующей исследуемому уравнению, и функции, включающей в себя правую часть уравнения и начальные данные. Условия, при которых такое обобщенное решение не содержит сингулярной составляющей, а регулярная составляющая обращает исходное уравнение в тождество и удовлетворяет начальным данным и будут обеспечивать разрешимость исходной задачи в классе функций соответствующей гладкости. При этом построенное обобщенное решение окажется классическим. Доказана теорема о виде фундаментальной оператор-функции, абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах начально-краевых задач прикладного характера из теории электромагнитных полей, теории колебаний в вязко-упругих средах, теории колебаний термоупругих пластин.

Фалалеев Михаил Валентинович, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт математики и информационных технологий, Иркутский государственный университет, Российская Федерация, 664000, г. Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)521296, e-mail: mihail@ic.isu.ru

Фалалеев М.В. О разрешимости в классе распределений вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 34. С. 77-92. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.34.77

1. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М. : Наука, 1969. 520 c.
2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М. : Наука, 1979. 512 с.
3. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенные жордановы структуры в теории ветвления // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и их приложения. Ташкент : ФАН, 1978. С. 133–148.
4. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин , М. О. Корпусов , Ю. Д. Плетнер. М. : Наука, 2007. 736 с.
5. Сидоров Н. А., Романова О. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1516–1526.
6. Сидоров Н. А., Фалалеев М. В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726–728.
7. Фалалеев М. В., Орлов С. С. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения // Известия вузов. Математика. 2011. № 10. С. 68–79.
8. Фалалеев М. В., Орлов С. С. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2011. Т. 4, № 1. С. 118–134.
9. Фалалеев М. В., Орлов С. С. Обобщенные решения вырожденных интегродифференциальных уравнений в банаховых пространствах и их приложения // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 286–297.
10. Rivera J. E. M., Fatori L. H. Regularizing Properties and Propagations of Singularities for Thermoelastic Plates // Math. Meth. Appl. Sci. 1998. Vol. 21. P. 797–821.
11. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2002. 540 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-2122-6