В статье рассмотрена задача о движении тепловой волны с заданным фронтом для нелинейного параболического уравнения теплопроводности общего вида. Искомая функция зависит от двух переменных. На фронте тепловой волны коэффициент теплопроводности и функция источника обращаются в нуль, что приводит к вырождению параболического типа уравнения. Это является математической причиной появления исследуемых решений, которые описывают возмущения, распространяющиеся по нулевому фону с конечной скоростью. Подобного рода эффекты, вообще говоря, несвойственны для уравнений параболического типа. Ранее авторами для рассмотренной в настоящей работе задачи была доказана теорема существования и единственности, однако она носит локальный характер и не позволяет исследовать свойства решения за пределами малой окрестности фронта тепловой волны. Для преодоления данной проблемы в статье предложен итерационный метод построения приближенного решения на заданном временном интервале, основанный на граничноэлементном подходе. Поскольку для нелинейных уравнений математической физики с особенностью обычно не удается доказать строгие теоремы о сходимости приближенных методов, важной проблемой является верификация результатов расчетов. Одним из традиционных способов здесь является сравнение с точными решениями. В статье получено и исследовано точное решение искомого типа, нахождение которого сводится к интегрированию задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, получены некоторые его качественные свойства, включая интервальную оценку амплитуды волны в одном частном случае. Проведенные расчеты показали эффективность разработанного вычислительного алгоритма, а также соответствие результатов вычислений и качественного анализа.

Казаков Александр Леонидович, д-р физ.-мат. наук, проф. РАН, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952)453033, e-mail: kazakov@icc.ru

Спевак Лев Фридрихович, канд. техн. наук, заведующий лабораторией прикладной механики, Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34, тел.: +7(343)3753592, email: lfs@imach.uran.ru

Казаков А.Л., Спевак Л.Ф. Приближенные и точные решения вырождающегося нелинейного уравнения теплопроводности с произвольной нелинейностью // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 34. С. 18-34. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.34.18

1. Казаков А. Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сибирские электронные математические известия. 2019. Т. 16. С. 1057–1068. https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.073
2. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 119–129.
3. Казаков А. Л., Лемперт А. А. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, № 1. С. 57–68.
4. Казаков А. Л., Орлов С. С. О некоторых точных решениях нелинейного уравнения теплопроводности // Труды ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. С. 112–123.
5. Казаков А. Л., Орлов Св. С., Орлов С. С. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Сибирский математический журнал. 2018. Т. 59, № 3. С. 544–560. https://doi.org/10.17377/smzh.2018.59.306
6. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2012. Т. 5, № 2. С. 2–17.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М. : Наука, 1974. 832 c.
8. Косов А. А., Семенов Э. И. O точных решениях уравнения нелинейной диффузии // Сибирский математический журнал. 2019. Т. 60, № 1. С. 123–140. https://doi.org/10.33048/smzh.2019.60.111
9. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М. : Наука, 1967. 738 с.
10. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М. : Наука, 1987. 480 с.
11. Сидоров А. Ф. Избранные труды. Математика. Механика. М. : Физматлит, 2001. 576 c.
12. Филимонов М. Ю. Использование метода специальных рядов для представления решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1100–1107.
13. Antontsev S. N., Shmarev S. I. Evolution PDEs with nonstandard growth conditions. Existence, uniqueness, localization, blow-up. Paris, Atlantis Press, 2015. 409 p. https://doi.org/10.2991/978-94-6239-112-3
14. Banerjee P. K., Butterfield R. Boundary element methods in engineering science. London, McGraw–Hill Book Company, 1981. 494 p.
15. Divo E., Kassab A. J. Transient non-linear heat conduction solution by a dual reciprocity boundary element method with an effective posteriori error estimator // Comput. Mater. Contin. 2005. Vol. 2, N 4. P. 277–288. https://doi.org/10.3970/cmc.2005.002.277
16. Golberg M. A., Chen C. S., Bowman H. Some recent results and proposals for the use of radial basis functions in the BEM // Eng. Anal. Boundary Elem. 1999. Vol. 23. P. 285–296.
17. Hardy R. L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces // Journal of Geophys. Res. 1971. Vol. 76. P. 1905–1915.
18. Kazakov A. L., Kuznetsov P. A., Spevak L. F. Analytical and numerical construction of heat wave type solutions to the nonlinear heat equation with a source. Journal of Math. Sciences. 2019. Vol. 239, N 1. P. 111–122. https://doi.org/10.1007/s10958-019-04294-x
19. Murray J. Mathematical Biology: I. An Introduction. N. Y. : Springer, 2002. 551 p.
20. Spevak L. F., Nefedova O. A. Solving a two-dimensional nonlinear heat conduction equation with degeneration by the boundary element method with the application of the dual reciprocity method // AIP Conf. Proc. 2016. Vol. 1785. P. 040077. https://doi.org/10.1063/1.4967134
21. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford : Clarendon Press, 2007. 648 p.
22. Wrobel L. C., Brebbia C. A., Nardini D. The dual reciprocity boundary element formulation for transient heat conduction. Finite elements in water resources VI. Berlin : Springer-Verlag, 1986. P. 801–811.