Изучение семейств элементарных теорий дает информацию о поведении и взаимосвязях теорий внутри семейств, возможности порождения и их сложности. Эта сложность выражается ранговыми характеристиками как для семейств, так и для их элементов внутри семейств.

В работе вводится и описывается иерархия семейств теорий и их ранговые характеристики, включая динамику рангов. Рассматриваются регулярные семейства, базирующиеся на основе семейства праэлементов — теорий данной сигнатуры, и пошагового процесса, задающего искомую иерархию. Для отражения шагов этого процесса используется ординально-значный теоретико-множественный ранг. Вводится ранг RS и связанные с ним ранги для регулярных семейств относительно определимых предложениями подсемейств, обобщается известный RS-ранг для семейств праэлементов, а также их степень. На основе отделимости множеств праэлементов описываются связи и динамика для этих рангов и степеней. Вводятся и характеризуются графы и семейства окрестностей, свидетельствующие о рангах. Показано, что декомпозиции семейств окрестностей и ранговые связи, для дискретных разложений, задают аддитивность и возможность сведения меры сложности для семейств к более простым подсемействам.

Судоплатов Сергей Владимирович, д-р физ.-мат. наук, доцент, ведущий научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Российская Федерация, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4, тел.: (383)3297586; заведующий кафедрой алгебры и математической логики, Новосибирский государственный технический университет, Российская Федерация, 630073, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. (383)3461166; профессор кафедры алгебры и математической логики, Новосибирский государственный университет, Российская Федерация, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 1, тел. (383)3634020, email: sudoplat@math.nsc.ru

Sudoplatov S.V. Hierarchy of Families of Theories and Their Rank Characteristics // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 33. С. 80-95. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.33.80

1. Barwise J. Admissible sets and structures. An approach to definability theory. Perspectivities in Mathematical Logic. Berlin, Heidelberg, New York, SpringerVerlag, 1975. 396 p.
2. Энгелькинг Р. Общая топология. М. : Мир, 1986. 752 с.
3. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М. : Физматлит, 2011, 356 с.
4. Справочная книга по математической логике / Под ред. Дж. Барвайса. М. : Наука, 1982. Ч. 1. Теория моделей. 392 с.
5. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М. : Наука, 1990. 384 с.
6. Markhabatov N.D., Sudoplatov S.V. Definable subfamilies of theories, related calculi and ranks // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2020. Vol. 17. P. 700–714. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.048
7. Markhabatov N.D., Sudoplatov S.V. Algebras for definable families of theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2019. Vol. 16. P. 600–608. https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.038
8. Markhabatov N.D. Ranks for families of permutation theories // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2019. Vol. 28. P. 86–95. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.85
9. Pavlyuk In.I., Sudoplatov S.V. Ranks for families of theories of abelian groups // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2019. Vol. 28. P. 96–113. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.95
10. Pavlyuk In.I., Sudoplatov S.V. Approximations for theories of abelian groups // Mathematics and Statistics. 2020. Vol. 8, no. 2. P. 220–224. https://doi.org/10.13189/ms.2020.080218
11. Sudoplatov S.V. Combinations of structures // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2018. Vol. 24. P. 65–84. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.24.82
12. Sudoplatov S.V. Closures and generating sets related to combinations of structures // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2016. Vol. 16. P. 131–144.
13. Sudoplatov S.V. Combinations related to classes of finite and countably categorical structures and their theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2017. Vol. 14. P. 135–150. https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.014
14. Sudoplatov S.V. Approximations of theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2020. Vol. 17. P. 715–725. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.049
15. Sudoplatov S.V. Ranks for families of theories and their spectra // arXiv:1901.08464v1 [math.LO], 2019, 17 p.