Автоморфизмы и эндоморфизмы активно используются в различных теоретических исследованиях. В частности, теоретический интерес к изучению автоморфизмов обусловлен возможностью представления элементов фиксированной группы автоморфизмами некоторой подходящей алгебраической системы. Например, в 1946 году Г. Биркгоф показал, что каждая группа является группой всех автоморфизмов некоторой алгебры. В 1958 году Д. Гроот опубликовал работу, в которой было установлено, что всякая группа есть группа всех автоморфизмов некоторого кольца. М. М. Глуховым и Г. В. Тимофеенко было установлено: всякая конечная группа изоморфна группе автоморфизмов подходящей конечно-определенной квазигруппы.

Исследуются эндоморфизмы некоторых конечных группоидов с порождающим множеством из k элементов и порядком k + k², не являющихся квазигруппами и полугруппами при k > 1. Приводится описание всех эндоморфизмов этих группоидов как отображений носителя и устанавливаются некоторые структурные свойства моноида всех эндоморфизмов. Ранее было установлено, что всякая конечная группа изоморфно вкладывается в группу всех автоморфизмов некоторого подходящего группоида порядка k + k² и порождающим множеством из k элементов.

Показано, что для любого конечного моноида G и любого натурального числа k ≥ |G| будет существовать группоид S с порождающим множеством из k элементов и порядком k + k² такой, что G изоморфен некоторому подмоноиду моноида всех эндоморфизмов группоида S.

Литаврин Андрей Викторович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики № 2, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Россия, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный 79, email: anm11@rambler.ru

Litavrin A. V. Endomorphisms of Some Groupoids of Order k + k² // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 32. С. 64-78. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.32.64

1. Бунина Е. И., Семенов П.П. Автоморфизмы полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами над коммутативными частично упорядоченными кольцами // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14, № 2. С. 69–100. 
2. Биркгоф Г. О. группах автоморфизмов // Revista de la Union Math. Argentina 11. 1946. № 4. С. 155-157. 
3. Катышев С. Ю., Марков В. Т., Нечаев А. А. Использование неассоциативных группоидов для реализации процедуры открытого распределения ключей // Дискретная математика. 2014. Т. 26, № 3. С. 45–64. https://doi.org/10.4213/dm1289 
4. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М. : Лань, 2007. 560 с. 
5. Литаврин А. В. Автоморфизмы некоторых магм порядка k + k² // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 47–61. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.47 
6. Литаврин А.В. Автоморфизмы некоторых конечных магм с порядком строго меньше числа N(N +1) и порождающим множеством из N элементов // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2018. № 2. С. 70–87. https://doi.org/10.26456/vtpmk533 
7. Михалeв А. В., Шаталова М. А. Автоморфизмы и антиавтоморфизмы, полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами // Математический сборник. 1970. Т. 81, № 4. С. 600–609. 
8. Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М. : Наука, 1966. 
9. Семёнов П. П. Эндоморфизмы полугрупп обратимых неотрицательных матриц над упорядоченными кольцами // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17, №. 5. C. 165–178. 
10. Табаров А. Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп // Дискретная математика. 2007. Т. 19, № 2. С. 67–73. https://doi.org/10.4213/dm21 
11. Тимофеенко Г. В., Глухов М. М. Группа автоморфизмов конечноопределенных квазигрупп // Математические заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 617–626. 
12. Groot J. Automorphism groups of rings // Int. Congr. of Mathematicians, Edinburgh. 1958. P. 18.