Изучается гипотеза разрешимости полной группы автоморфизмов недезарговой полуполевой проективной плоскости конечного порядка (вопрос 11.76 в Коуровской тетради). Как известно, эта гипотеза редуцируется к разрешимости группы автотопизмов. Изучая подгруппы четного порядка в группе автотопизмов, мы применяем метод с использованием регулярного множества над полем простого порядка. Показано, что для элементарной абелевой 2-подгруппы в группе автотопизмов выбор базиса линейного пространства позволяет построить матричное представление порождающих элементов, единообразное для полуполевых плоскостей четного и нечетного порядка и не зависящее от размерности пространства. В качестве следствия указано условие, связывающее порядок полуполевой плоскости и порядок элементарной абелевой 2-подгруппы автотопизмов. Выделена бесконечная серия полуполевых плоскостей нечетного порядка, не допускающих подгруппу автотопизмов, изоморфную группе Судзуки Sz(2²ⁿ⁺¹). В случае четного порядка плоскости получено условие на ядро подплоскости, поточечно фиксируемой автотопизмом порядка два. Выбор такого ядра в качестве основного поля приводит к отсутствию в группе линейных автотопизмов подгруппы, изоморфной знакопеременной группе A₄. Основные доказанные результаты являются техническими и необходимы для дальнейшего изучения подгрупп четного порядка в группе автотопизмов конечной недезарговой полуполевой плоскости. Результаты согласуются с приведенными в статье примерами 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, а также с хорошо известными двумя примерами неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16.

Кравцова Ольга Вадимовна, канд. физ.-мат. наук, доцент, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79, тел.:(391)2062148, e-mail: ol71@bk.ru

Kravtsova O. V. Elementary Abelian 2-subgroups in an Autotopism Group of a Semifield Projective Plane // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 32. С. 49-63. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.32.49

1. A structure theory for two-dimensional translation planes of order q² that admit collineation group of order q² / M. Biliotti, V. Jha, N. L. Johnson, G. Menichetti // Geom. Dedicata. 1989. Vol. 29. P. 7-43.
2. Дураков Б. К., Кравцова О. В. Построение и исследование полуполевых плоскостей порядка 256 // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В. П. Астафьева. 2013. Т. 23, № 1. С. 207–210.
3. Hughes D. R., Piper F. C. Projective planes. New York : Springer-Verlag Publ., 1973.
4. Кравцова О. В. О некоторых трансляционных плоскостях, допускающих A₄ // Тезисы докладов III Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск, 2004. С. 38–39.
5. Кравцова О. В. Полуполевые плоскости, допускающие бэровскую инволюцию // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2013. Т. 6, № 2. С. 26–38.
6. Kravtsova O. V. On automorphisms of semifields and semifield planes // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2016. Vol. 13. P. 1300-1313. https://doi.org/10.17377/semi.2016.13.102
7. Kravtsova O. V. Semifield planes of odd order that admit a subgroup of autotopisms isomorphic to A₄ // Russian Mathematics. 2016. Vol. 60, N 9. P. 7-22. https://doi.org/10.3103/S1066369X16090024
8. Kravtsova O. V., Panov S. V., Shevelyova I. V. Some results on isomorphisms of finite semifield planes // Journal of Siberian Federal University. Mathematics&Physics. 2013. Vol. 6, N 1. P. 33-39.
9. Кравцова О. В., Шевелева И. В. О некоторых 3-примитивных полуполевых плоскостях // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 3. С. 187—203.
10. Luneburg H. Translation planes. New York : Springer-Verlag Publ., 1980.
11. Unsolved Problems in Group Theory. The Kourovka Notebook, N 19 / eds. Mazurov V. D., Khukhro E. I. Novosibirsk : Sobolev Inst. Math. Publ., 2018.
12. Podufalov N. D. On spread sets and collineations of projective planes // Contem. Math. 1992. Vol. 131, part 1. P. 697-705.
13. Подуфалов Н. Д., Бусаркина И. В. Группа автотопизмов полуполевой pпримитивной плоскости порядка q⁴ // Алгебра и логика. 1996. T. 35, № 3. С. 334–344.
14. О полуполевых плоскостях порядка 16² / Н. Д. Подуфалов, Б. К. Дураков, О. В. Кравцова, Е. Б. Дураков // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37, № 3. С. 616–623.
15. Созутов А. И., Сучков Н. М., Сучкова Н. Г. Бесконечные группы с инволюциями. Красноярск : Сибирский федеральный университет, 2011.