В статье изучается система двух нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. Правые части системы уравнений содержат квадраты градиентов искомых функций. Такого рода уравнения, близкие к уравнению Гамильтона – Якоби, встречаются в задачах механики и теории управления. В статье предлагается искать решение в виде анзаца, содержащего квадратичную зависимость от пространственных переменных и произвольные функции от времени. Использование предложенного анзаца позволяет декомпозировать процесс отыскания компонент решения зависящих от пространственных переменных и от времени. Для отыскания зависимости от пространственных переменных необходимо решать алгебраическую систему матричных, векторных и скалярного уравнения. Найдено общее решение этой системы уравнений в параметрическом виде. Для отыскания компонент решения исходной системы, зависящих от времени, возникает система нелинейных дифференциальных уравнений. Установлено существование точных решений определенного вида у исходной системы. Приводится ряд примеров построенных точных решений, в том числе периодические по времени и анизотропные по пространственным переменным. Проведен анализ пространственной структуры решений, установлено, что она зависит от ранга матрицы квадратичной формы, входящей в решение.

Косов Александр Аркадьевич, канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134; тел.: (3952) 427100, e-mail: kosov_idstu@mail.ru

Семенов Эдуард Иванович, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134; тел.: (3952) 453099, e-mail: edwseiz@gmail.com

Тирских Владимир Викторович, канд. физ.-мат. наук, доцент, Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, Иркутск, ул. Чернышевского, 15; тел. (3952) 638311, e-mail: tirskikh_vv@irgups.ru

Kosov A.A., Semenov E.I., Tirskikh V.V. On Exact Multidimensional Solutions of a Nonlinear System of First Order Partial Differential Equation // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 53-68. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.53

1. Фущич В. И., Штелень В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решений нелинейных уравнений математической физики. Киев : Наукова думка, 1989. 336 с.
2. Галактионов В. А., Посашков С. С. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1989. Т. 29, № 4. С. 497–506.
3. Galactionov V. A., Svirshchevskii S. R. Subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Chapman & Hall/CRC, 2007. 493 p.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1988. 552 с.
5. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных многомерных решениях системы уравнений реакции-диффузии со степенными нелинейностями // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 4. С. 796–812. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.408
6. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции-диффузии // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 1. С. 108–122. https://doi.org/10.1134/S0374064118010090
7. Куржанский А. Б. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона - Якоби в теории управления // Тр. ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12, №1. С. 173-183.
8. Markov Y., Rudykh G., Sidorov N., Sinitsyn A., Tolstonogov D. Steady state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // Acta Appl. Math. 1992. Vol. 28, N 3. P. 253–293.
9. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М. : Физматлит, 2005. 256 с.
10. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Построение точных решений многомерного уравнения нелинейной теплопроводности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33, № 8. С. 1228–1239.
11. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 5. С. 1131– 1140. https://doi.org/10.1007/BF02672920
12. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Мат. заметки. 2000. Т. 67. № 2. С. 250–256. https://doi.org/10.4213/mzm833
13. Сидоров Н. А., Синицын А. В. Стационарная система Власова-Максвелла в ограниченных областях // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М. : Физматлит, 2003. С. 50-88.
14. Скубачевский А. Л. Уравнения Власова – Пуассона для двухкомпонентной плазмы в однородном магнитном поле // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69, № 2. С. 107–148. https://doi.org/10.4213/rm9579
15. Титов С. С. Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений математической физики // Аэродинамика. Саратов : Саратов. ун-т, 1988. С. 104–110.
16. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М. : Физматлит, 2003. 416 с.