Рассматриваются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) c прямоугольными матрицами коэффициентов, включая случай, когда матрица перед производной искомой вектор-функции имеет неполный ранг для всех значений аргумента из области определения. Системы такого вида, принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Получены критерии существования неособенных преобразований, расщепляющих систему на подсистемы, для которых с помощью аппарата обобщенных обратных матриц можно выписать общие решения в виде конечных формул. Эта форма названа обобщенной расщепленной формой ДАУ. Она является некоторым аналогом канонической формы Вейерштрасса – Кронекера и совпадает с ней для пучков матриц с постоянными элементами. В частности, показано, что произвольные ДАУ с прямоугольными матрицами коэффициентов приводимы локально к обобщенной расщепленной форме. Структура этих форм (если она определена на отрезке интегрирования) полностью определяет структуру общих решений систем. При анализе обозначенного выше класса систем ОДУ выявлено наличие целочисленных характеристик систем, называемые размерность пространства решений и индекс. Размерность пространства решений определяет произвол многообразия общего решения. Индекс определяет порядок производных входных данных, от которых зависит решение задачи. Указаны способы вычисления этих характеристик.

Булатов Михаил Валерьянович, д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, 664033, Российская Федерация, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, а/я 292; тел.: (3952)242210, e-mail: mvbul@icc.ru

Чистяков Виктор Филимонович, д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, 664033, Российская Федерация, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, а/я 292; тел.: (3952)242210, e-mail: chist@icc.ru

Bulatov M.V., Chistyakov V.F. The Index and Split Forms of Linear Differential-algebraic Equations // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 21-35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.21

1. Белов А. А., Курдюков А. П. Дескрипторные системы и задачи управления. M. : Физматлит, 2015. 272 с.
2. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск : Наука, 1980. 222 c.
3. Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. Новосибирск : Hаука, 1998. 224 с.
4. Brenan K. E., Campbell S. L., Petzold L. R. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations (classics in applied mathematics; 14). Philadelphia, SIAM, 1996.
5. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Один метод численного решения линейных сингулярных систем ОДУ индекса выше единицы // Численные методы анализа и их приложения. Иркутск : СЭИ СО АН СССР, 1987. С. 100–105.
6. Bulatov M. V., Chistyakov V. F. A numerical method for solving differential-algebraic equations // Comput. Math. Math. Phys. 2002. Vol. 42, N 4. P. 439–449.
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 3-изд. М. : Наука, 1966. 576 c.
8. Hairer E., Lubich C., Roche M. The numerical solution of differential-algebraic system by Runge – Kutta methods, Report CH-1211, Dept. de Mathematiques, Universite de Geneve, Switzerland, 1988.
9. Kunkel P., Mehrmann V. Canonical forms for linear differential-algebraic equations with variable coefficients // J. Comput. Appl. Math. 1995. Vol. 56. P. 225–251. https://doi.org/10.1016/0377-0427(94)90080-9
10. Kurina G.A. On regulating by descriptor systems in an innite interval // Izvestija RAN, Tekhnicheskaja Kibernetika. 1993. N 6, P. 33–38 (in Russian).
11. Lamour R., Marz R., Tischendorf C. Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis. Springer-Verlag, 2013. https://doi.org/10.1007/978-3-642-27555-5
12. Сидоров Н. А. Задача Коши для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 8. С. 1521–1524
13. Сидоров Н. А. О ветвлении решений дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 8. С. 1464–1481.
14. Сидоров Н. А. Исследование непрерывных решений задачи Коши в окрестности точки ветвления // Изв. вузов. Математика. 1976, № 9. С. 99–110.
15. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск : Наука. Сиб. издат. фирма РАН, 1996. 278 с.