В статье дается обзор результатов в области нерегулярных уравнений в банаховых пространствах с частными производными с необратимым оператором в главной части уравнения. Некоторые результаты статьи ранее анонсировались в препринтах. Показано как, используя информацию об обобщенной в смысле Келдыша жордановой структуре операторных коэффициентов уравнения, можно сводить нерегулярные задачи к регулярным. На этой основе демонстрируется решение проблемы подбора корректных граничных условий для широкого класса нерегулярных уравнений в частных производных высокого порядка. Общие теоремы о редукции, приведенные в статье, дают возможность не только получать достаточные условия существования и единственности классических решений, но и строить решения с входными данными, взятыми из эксперимента. Теория абстрактных уравнений в банаховых пространствах на содержательном уровне иллюстрируется решением граничных задач для ряда конкретных интегро-дифференциальных и разностных уравнений различных порядков.

Сидоров Николай Александрович, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, Российская Федерация, 664000, г. Иркутск, ул. К. Маркса, 1, e-mail: sidorovisu@gmail.com

Sidorov N.A. Classic Solutions of Boundary Value Problems for Partial Differential Equations with Operator of Finite Index in the Main Part of Equation // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 27. С. 55-70. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.27.55

1. Falaleev M. V., Sidorov N. A. Continuous and generalized solutions of singular differential equations // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2005. Vol. 20. Р. 31- 45.
2. Леонтьев Р. Ю. Нелинейные уравнения в банаховых пространствах с векторным параметром в нерегулярных случаях. Иркутск : ИГУ, 2011. 101 с.
3. Логинов Б. В. Библиографический указатель трудов / сост. О. Горшанина. Ульяновск : УлГТУ, 2008, 59 с. (Ученые УлТУ).
4. Люстерник Л. А. Некоторые вопросы нелинейного функционального анализа // Успехи мат. наук. 1956. Вып. 11, № 6. С. 145–168.
5. Муфтахов И. Р., Сидоров Д. Н., Сидоров Н. А. О методе возмущений // ЮУрГУ. Сер. Мат.  моделирование и программирование. 2015.  Т.  8, № 2. С. 69-80.
6. Орлов С. С. Обобщенные решения интегро-дифференциальных уравнений высокого порядка в банаховых пространствах. Иркутск : ИГУ, 2014. 149 с.
7. Rendon L., Sinitsyn A. V., Sidorov N. A. Bifurcation points of nonlinear operators: existence theorems, asymptotics and application to the Vlasov-Maxwell system // Rev. Colombiana Math. 2016. Vol. 50, N 1. P. 85–107. https://doi.org/10.15446/recolma.v50n1.62200
8. Сидоров Н. А., Благодатская Е. Б. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении // Докл. Акад. наук СССР. 1991. Т. 319, № 5. С. 302.
9. Сидоров Н. А., Романова  О. А., Благодатская  Е. Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 4. С. 729.
10. Сидоров Н. А., Благодатская Е. Б. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 1991. № 1. С. 35.
11. Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. A. Sidorov, B. V. Loginov, A. V. Sinithyn, M. V. Falaleev. Springer, 2003. 558 p. (Mathematica and applications ; vol. 550). https://doi.org/10.1007/978-94-017-2122-6
12. Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. Существование и построение обобщенных решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1312–1316.
13. Сидоров Н. А., Романова О. А. Дифференциально-разностные уравнения с фредгольмовым оператором при главной части // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2007. Т. 1, № 1. С. 254–266.
14. Сидоров Н. А., Романова О. А. О построении траектории одиночной динамической системы с начальными данными на гиперплоскостях // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 11. С. 93–105.
15. Сидоров Д. Н., Сидоров Н. А. Решение нерегулярных систем с использованием скелетного разложения линейных операторов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика моделирование и программирование. 2017. Т. 10, № 2. С. 63-73.
16. Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. О разрешимости одного класса операторных уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами // Мат. заметки. 2014. Т. 96, № 5. С. 773-789.
17. Sidorov N. A., Leontiev R. Yu., Dreglea A. I. On Small Solutions of Nonlinear Equations with Vector Parameter in Sectorial Neighborhoods // Math. Notes. 2012. Vol. 91, N 1, P. 90–104. https://doi.org/10.4213/mzm8771
18. Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. Малые решения нелинейных дифференциальных уравнений вблизи точек ветвления // Изв. вузов. Математика. 2011. Т. 55, № 5. С. 43–50.
19. Сидоров Н.А. Параметризация простых разветвляющихся решений полного ранга и итераций в нелинейном анализе // Матем. (Из. ВУЗ). 2001. Т. 45, № 9. С.55–61.
20. Сидоров Н. А. Явная и неявная параметризация при построении ветвящихся решений итерационными методами // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 2. С. 129–141.
21. Сидоров Н.А. Об одном классе вырождающихся дифференциальных уравнений со сходимостью // Мат. заметки. 1984. Т. 35, № 4. С. 300–305.
22. Sidorov D. N., Sidorov N. A. Convex majorants method in the theory of nonlinear Volterra equations // Banach J. Math. Anal. 2012. Vol. 6, N 1. P. 1–10. https://doi.org/10.15352/bjma/1337014661
23. Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. О решении интегрального уравнения Гаммерштейна в нерегулярном случае методом последовательных приближений // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 2. С. 325–329.
24. Sidorov D. N. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control. World scientific series, nonlinear science, Series A, vol. 87, Ed. by L. O. Chua, 2015. 243 p. https://doi.org/10.1142/9278
25. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. Линейные уравнения соболевского типа и вырожденные полугруппы операторов. Утрехт : ВСП, 2003. 228 с.
26. Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Шовальтера – Сидорова для уравнений соболевского типа // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3. С. 104-125.
27. Vainberg M. M., Trenogin V. A. The theory of branches of solutions of nonlinear equations. Wolters-Noordhoff, Groningen, 1974, 302 p.