С конца 1980-х гг. автор опубликовал серию результатов по матричным функциям, полученным с помощью производящих функций, смешанных дискриминантов (смешанных объёмов в Rⁿ), и известной теоремы поляризации (ее формулировка в наибольшей общности приведена в журнале «Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика» в 2017 г.). Эта теорема позволяет получать для полиаддитивной и симметрической функции множество вычислительных формул (полиномиальных тождеств), содержащих семейство свободных переменных. В 1979–1980 гг. автор получил первое полиномиальное тождество для перманентов над коммутативным кольцом, а в 2013 г. полиномиальное тождество нового типа для детеминантов над некоммутативным кольцом с ассоциативными степенями.

В заметке дано общее определение функции детерминанта, названного автором e-детерминантом над алгеброй с единственной n-арной f-операцией. Это определение отлично от хорошо известного определения некоммутативного детерминанта Гельфанда. Показано, что при естественных ограничениях на f-операцию e-детерминант сохраняет основные свойства классического детерминанта над полем R. Получено семейство полиномиальных тождеств для e-детерминантов. В заключении автор выражает уверенность, что представляет интерес получение подобных полиномиальных тождеств для функций Шура, смешанных дискриминантов, результантов и других матричных функций над различными алгебраическими системами. Особенно интересен, по его мнению, ответ на следующий вопрос: для каких n-арных f-операций возможно быстрое вычисление e-детерминантов с помощью квантовых компьютеров?

Егорычев Георгий Петрович, д-р физ.-мат. наук, проф., Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mail: gegorych@mail.ru

Егорычев Г. П. Детерминанты как комбинаторные формулы суммирования над алгеброй с единственной n-арной операцией // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 121-127. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.121

1. Егорычев Г. П. Новые формулы для перманента // Докл. АН СССР. 1980. Т. 265, № 4. С. 784–787.
2. Егорычев Г. П. Дискретная математика. Перманенты. Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2007. 272 c.
3. Егорычев Г. П. Новые полиномиальные тождества для детерминантов над коммутативными кольцами // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2012. Т. 5, № 4. С. 16–20.
4. Егорычев Г. П. Теорема поляризации и полиномиальные тождества для матричных функций // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2017. Т. 21, № 4. С. 77–88. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.21.77
5. Кочергин В. В. О сложности вычислений одночленов и степеней // Дискретный анализ. Новосибирск : Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1994. С. 94–107. (Тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики ; т. 27).
6. Курош А. Г. Мультиоператорные кольца и алгебры // Успехи мат. наук. 1969. Т. 24, вып. 1(145). С. 3–15.
7. Пожидаев А. П. Простые фактор-алгебры и подалгебры алгебр якобианов // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 593–599.
8. Филиппов В. Т. Об n-лиевой алгебре якобианов // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 660–669. https://doi.org/10.1007/BF02673915
9. Arvind V. On the hardness of noncommutative dеterminant // Electronic Colloquium on Computational Complexity. 2009. Report № 103. P. 1–18.
10. Barvinok A. I. New permanent estimators via non-commutative determinants // Preprint arXiv: math./0007153. 2000. P. 1–13.
11. Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Geometric Inequalities. N. Y. : Springer Verlag, 1988. 334 p.
12. Chakhmakhchyan L., Cerf N. J., Garcia-Patron R. Guantum-inspired algorithm for estimating the permanent of positive semidefinite matrices // Preprint arXiv: quant-ph./ 1609.02416. 2017. P. 1–9.
13. Gelfand I. M., Retakh V. S. Determinants of matrices over noncommutative rings // Funct. Anal. Appl. 1991. Vol. 25, N 2. P. 91–102.
14. Krattenthaler C. Advanced determinant calculus: A complement  // Linear Algebra and Its Applications. 2005. Vol. 411. P. 68–166. https://doi.org/10.1016/j.laa.2005.06.042
15. Krob D., Leclerc B. Minor identities for quasi-determinants and quantum determinants// Commun. Math. Phys. 1995. Vol. 169. P. 1–23.
16. Мuir Т. The theory of determinants in the historical order of development. Vol. 1, part 1. London, 1890.
17. Zeilberger D. Proof of the alternating sign matrix conjecture // arXiv: math./9407211v, 1994. P. 1–84.