Рассматривается задача численного решения системы нелинейных уравнений. Проводится разработка и обоснование двух модификаций метода Ньютона, связанных с идеей параметризации. При этом выбор параметра направлен на обеспечение свойства монотонности итерационного процесса по некоторой невязке.

Первая модификация использует чебышевскую невязку системы. Для поиска направления спуска предлагается решать подсистему ньютоновской линейной системы, которая содержит только уравнения, соответствующие максимальным по модулю значениям функций в текущей точке. Это приводит, вообще говоря, к уменьшению вычислительной трудоемкости модификации по сравнению с методом Ньютона. Кроме того расширяется работоспособность: подсистема может иметь решение, когда полная система не совместна. Формула для параметра получена из условия минимума параболической аппроксимации для невязки вдоль направления спуска.

Вторая модификация связана с евклидовой невязкой системы и использует константу Липшица для матрицы Якоби. Получена оценка сверху для этой невязки в форме сильно выпуклой функции. В результате построена модификация, которая в отличие от метода Ньютона обеспечивает нелокальное уменьшение евклидовой невязки на каждой итерации. Доказана глобальная сходимость по невязке для любого начального приближения со скоростью геометрической прогрессии.

Срочко Владимир Андреевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, Российская Федерация, 664003, г. Иркутск, ул. К. Маркса, 1, e-mail: srochko@math.isu.ru

Srochko V.A. Some Modifications of Newton’s Method for Solving Systems of Equations // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 91-104. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.91

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М. : Лаборатория базовых знаний, 2002. 632 с.
2. Будько Д. А., Кордеро A., Торрегроса Х. Р. Новое семейство итерационных методов на основе схемы Ермакова – Калиткина для решения нелинейных систем уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, № 12. С. 1986–1998. https://doi.org/10.1134/S0965542515120040
3. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М. : Факториал Пресс, 2002. 824 с.
4. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М. : Наука, 1972. 368 с.
5. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М. : Мир, 1988. 440 с.
6. Ермаков В. В., Калиткин Н. Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21, № 2. С. 491– 497. https://doi.org/10.1016/0041-5553(81)90022-7
7. Ортега Дж., Рейнболдт B. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М. : Мир, 1975. 558 с.
8. Срочко В. А. Численные методы. СПб. : Лань, 2010. 208 с.
9. Cordero A., Torregrosa J. R. Variants of Newton’s method using fifth-order quadrature formulas // Appl. Math. Comput. 2007. Vol. 190. P. 686-698. https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.01.062 
10. Nesterov Yu. Modified Gauss-Newton scheme with worst case guarantees for global performance // Optimization Methods and Software. 2007. Vol. 22, N 3. P. 469– 483. https://doi.org/10.1080/08927020600643812
11. Petkovic M., Neta B., Petkovic L., Dzunic J. Multipoint methods for solving nonlinear equations. New York : Academic Press, 2012.
12. Spedicato E., Huang Z. Numerical Experience with Newton-like Methods for Nonlinear Algebraic Systems// Computing. 1997. Vol. 58. P. 69–89. https://doi.org/10.1007/BF02684472