Задача Ферма - Торричелли заключается в нахождении точки, сумма расстояний от которой до трех заданных точек минимальна. Она допускает многочисленные обобщения. Если на плоскости задано конечное множество S, состоящее из n точек, то точно так же можно искать точку, минимизирующую в данном случае сумму n расстояний, называемую медианой множества S. Аналогичная конструкция работает в евклидовом пространстве любой размерности и вообще в любом метрическом пространстве. Обобщенная задача Ферма - Торричелли – это задача о минимизации суммы взвешенных расстояний, она является одной из основных, во всяком случае, архетипичных в теории размещений. Уже для трех точек аналитическое решение задачи Ферма - Торричелли и, тем более, обобщенной задачи представляется достаточно сложным. 

В настоящей работе рассматривается еще более сложный – непрерывный случай, а именно задача о нахождении геометрической медианы двумерной области, – задача, в которой суммы расстояний заменяются на двойные интегралы. 

Нетрудно понять, что геометрическая медиана выпуклой области Ω лежит внутри этой области. Мы добьемся усиления этого результата – будет получена универсальная геометрическая оценка удаленности медианы от границы области Ω, зависящая только от ее площади S(Ω) и диаметра d(Ω). Еще одним объектом изучения в данной работе являются плоские многоугольные области. Даже в случае треугольной области при отыскании геометрической медианы, по-видимому, нельзя надеяться на аналитическое решение, заданное в конечном виде. Во всяком случае в известной онлайн энциклопедии Encyclopedia of Triangle Centers среди содержащихся там нескольких тысяч формул для различных центров треугольника формула для геометрической медианы треугольной области отсутствует. Тем не менее, с помощью элементарных функций удается записать градиентную систему для нахождения геометрической медианы такой области. С помощью триангуляции этот результат переносится на произвольную многоугольную область. Отдельно обсуждаются свойства геометрической медианы равнобедренного треугольника.

Панов Петр Алексеевич, старший преподаватель, Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, Российская Федерация, 101000, г. Москва, ул. Мясницкая, 20, e-mail: panovpeter@mail.ru

Панов П. А. О геометрической медиане выпуклых, а также треугольных и других многоугольных областей // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 62-75. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.62

1. Панов П. А. Равновесные расположения центров благ по городу // Журн. Новой экон. ассоциации. 2017. № 1(33). С. 28–42.
2. Савватеев А. В. Задача многомерного размещения и ее приложения: теоретико-игровой подход : дис. ... д-ра физ.-мат. наук / ЦЭМИ РАН. М., 2013. 267 с.
3. Bajaj C. Proving geometric algorithms nonsolvability: An application of factoring polynomials // Journal of Symbolic Computation. 1986. Vol. 2, N 1. P. 99–102. https://doi.org/10.1016/S0747-7171(86)80015-3
4. Beck A., Sabach S. Weiszfeld’s method: old and new results // J. Optim. Theory Appl. 2013. Vol. 164, N 1. P. 1–40. https://doi.org/10.1007/s10957-014-0586-7
5. Boltyanski V., Martini H., Soltan V. Geometric Methods and Optimization Problems. Vol. 4. Combinatorial Optimization. Springer Science & Business Media, 1999. 429 p.
6. Carlsson J., Jia F., Li Y. An approximation algorithm for the continuous k-medians problem in a convex polygon // INFORMS Journal on Computing. 2013. Vol. 26, N 2. P. 280–289. https://doi.org/10.1287/ijoc.2013.0564
7. Carmi P., Har-Peled S., Katz M. On the Fermat–Weber center of a convex object // Computational Geometry. 2005. Vol. 32, N 3. P. 188–195. https://doi.org/10.1016/j.comgeo.2005.01.002
8. Facility Location. Applications and Theory / Drezner Z., Hamacher H.W. (eds.). Berlin : Springer-Verlag, 2002. 464 p.
9. Encyclopedia of Mathematics, Fermat-Torricelli problem, Weber problem, Fermat point. Available at: https://www.encyclopediaofmath.org (date of access: September, 2018).
10. Fekete S., Mitchell J., Beurer K. On the continuous Fermat-Weber problem // Operations Research. 2005. Vol. 53, N 1. P. 61–76. https://doi.org/10.1287/opre.1040.0137
11. Mallows C., (August 1991). Another comment on O’Cinneide // The American Statistician. 1991. Vol. 45, N 3. P. 257. https://doi.org/10.1080/00031305.1991.10475815
12. Uteshev A. Yu. Analytical Solution for the Generalized Fermat-Torricelli Problem // Amer. Math. Monthly. 2014. Vol. 121, N 4. P. 318–331. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.121.04.318
13. Wesolowsky G. The Weber problem: History and perspectives // Location Science. 1993. Vol. 1, N 1. P. 5–23.
14. Zhang T., Carlsson J. On the Continuous Fermat-Weber Problem for a Convex Polygon Using Euclidean Distance. Available at: https://arxiv.org/abs/1403.3715, 2014 (date of access: September, 2018).