Рассматривается система трех параболических уравнений в частных производных специального вида, относящаяся к типу уравнений реакции-диффузии. В этой системе слагаемые, описывающие диффузию, являются одинаковыми и линейными с постоянными коэффициентами, а реакции описываются однородными полиномами третьей степени, зависящими от трех параметров. Искомые функции считаются зависящими от времени и произвольного количества пространственных переменных (многомерный случай). Показано, что рассматриваемая система реакции-диффузии имеет целое семейство точных решений, выражаемых через произведение решения уравнения Гельмгольца и решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными полиномами в правых частях, взятыми из исходной системы. Приведены два первых интеграла и построено общее решение упомянутой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, представимое эллиптическими функциями Якоби. Установлено, что все частные решения, получаемые из общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, являются периодическими функциями времени с периодами, зависящими от выбора начальных условий. Кроме того, показано также наличие у данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений “взрывающихся” по времени решений, существующих лишь на конечном интервале времени. Соответствующие им значения первых интегралов и начальные данные выделяются условиями типа равенства. Отдельно рассмотрен класс радиально симметричных по пространственным переменным решений. В этом случае уравнение Гельмгольца вырождается в неавтономное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, общее решение которого выражается через комбинацию степенных функций и функций Бесселя. В частном случае трех пространственных переменных общее решение выражается через тригонометрические либо гиперболические функции.

Косов Александр Аркадьевич, канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, e-mail: kosov_idstu@mail.ru

Семенов Эдуард Иванович, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова 134, e-mail: edwseiz@gmail.com, semenov@icc.ru

Kosov A.A., Semenov E.I. On Periodic Solutions of a Nonlinear Reaction-Diffusion System // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 35-46. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.35

1. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. M. : ОГИЗ, Гостехиз- дат, 1948. 292 с.
2. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М. : Физматлит, 2009. 184 c.
3. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных многомерных решениях системы уравнений реакции-диффузии со степенными нелинейностями // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 4. С. 796–812. https://doi.org/10.1134/S0037446617040085
4. Косов А. А., Семенов Э. И. Первые интегралы и периодические решения системы со степенными нелинейностями // Сиб. журн. индустр. математики. 2018. Т. 21 (73), № 1. С. 47–60.
5. Косов А. А., Семенов Э. И. Об аналитических периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием (опережением) // Изв. Высш. учеб. заведений. Математика. 2018. № 10. С. 34–42.
6. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М. : Физматлит, 2002. 432 с.
7. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Нелинейные уравнения математической физики : учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 1. М. : Юрайт, 2017. 324 с.
8. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Нелинейные уравнения математической физики : учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 2. М. : ЮРАЙТ, 2017. 370 с.
9. Нелинейная динамика каталитических реакций и процессов (обзор) /  М. Г. Слинько, Т. И. Зеленяк, Т. А. Акрамов, М. М.-мл. Лаврентьев, В. С. Шепелев // Мат. моделирование. 1997. Т. 9, № 12. С. 87–100.
10.   Шмидт А. В. Анализ систем реакция-диффузия методом линейных определяющих уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 2. С. 256–268.
11.   Cherniha R., King J. R. Non-linear reaction-diffusion systems with variable diffusivities: Lie symmetries, ansatze and exact solutions // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 308. P. 11–35.
12.   Galaktionov V. A., Svirshchevskii  S. R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Boca Raton ; London ; New York : Taylor & Francis Group, 2007.
13.   Meirmanov A. M., Pukhnachov V. V., Shmarev S. I. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. Walter de Gruyter. Berlin ; New York, 1997.
14.   Nefedov N. N., Nikulin E. I. Existence and Stability of Periodic Solutions for Reaction-Diffusion Equations in the Two-Dimensional Case // Modeling and Analysis of Information Systems. 2016. Vol. 23, N 3. P. 342–348.
15. Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering / A. D. Polyanin, A. M. Kutepov, A. V. Vyazmin, D. A. Kazenin. London ; N. Y. : Taylor & Francis, 2002. 387 p.
16.   Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford Mathematical Monographs. Oxford : Clarendon Press, 2007.