Рассматривается полулинейная дифференциально-алгебраическая система уравнений в частных производных индекса (1,0) с прямоугольной областью определения и согласованными начально-краевыми условиями. Предполагается, что пучок матриц, построенный по коэффициентам дифференциально-алгебраической системы, гладко подобен специальной канонической форме. Для численного решения системы строится равномерная сетка в прямоугольной области определения. На сетке выделяется прямоугольная элементарная подобласть с фиксированным количеством узлов по каждому направлению. В каждой такой подобласти решение системы ищется в виде полинома Ньютона. Значения полинома на линиях стыка элементарных подобластей должны совпадать. Дифференциально-алгебраическая система записывается во внутренних узлах элементарной подобласти. Производные, входящие в систему, в каждом узле элементарной подобласти аппроксимируются соответствующими производными полинома Ньютона. В итоге записывается нели- нейная сплайн-коллокационная разностная схема, порядок аппроксимации которой совпадает с порядком сплайна по каждой независимой переменной. С помощью преобразования матричного пучка системы и свойств интерполяционного сплайна, сплайн-коллокационная разностная схема преобразуется к матрично-разностному уравнению. В работе показано, что матрично-разностное уравнение можно записать в нормальной форме. Такая форма записи разностной схемы позволяет применить к ней метод простых итераций. С помощью метода простых итераций записывается итерационный процесс и доказывается, что соответствующий оператор перехода является оператором сжатия и отображает сеточное пространство в себя. Попутно доказывается, что разностная схема имеет единственное решение и является устойчивой в сеточном пространстве. Для обоснования последнего утверждения используются результаты предшествующих работ автора. В итоге в работе обосновывается существование и устойчивость единственного решения сплайн-коллокационной разностной схемы с произвольным порядком аппроксимации. Устойчивость разностной схемы в настоящей работе понимается в смысле определения А. А. Самарского. Результаты численного решения полулинейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных демонстрируются на тестовом примере.

1. Березин М. В., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1. М. : Наука, 1966. 632 с.

2. Гайдомак С. В. Об устойчивости неявной сплайн-коллокационной разностной схемы для линейных дифференциально-алгебраических уравнений с частными производными // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, № 9. С. 44-63.

3. Гайдомак С. В. О канонической структуре пучка вырожденных матриц- функций // Изв. вузов. Математика. 2012. № 2. С. 23-33.

4. Гайдомак С. В. Об одной краевой задаче для линейной параболической системы первого порядка // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54, № 4, С. 608–618.

5. Гайдомак С.В. Об одном алгоритме численного решения линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных произвольного индекса // Журн. вычисл. математики и мат. Физики. 2015. Т. 55, № 9, С.1530–1544.

6. Демиденко Г. А., Успенский С. В. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск : Науч. кн., 1998. 438 c.

7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Изд. 2-е. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 744 с.

8. Ланкастер П. Теория матриц : пер. с англ. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. 272 с.

9. Олейник О. А., Вентцель Т. Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Мат. сб. 1957. Т. 41(83), № 1. С. 105-128.

10. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М. : Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1978. 668 с.

11. Рущинский В. М. Пространственные линейные и нелинейные модели котлогенераторов // Вопр. идентификации и моделирования. 1968. С. 8-15.

12. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Либроком, 2009. 384 с.