Рассматривается нестационарная система обыкновенных дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей при производной искомой вектор-функции. Такие системы называют дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Мерой неразрешенности ДАУ относительно производных служит целочисленная величина, называемая индексом. Анализ проводится в предположении существования структурной формы с разделенными дифференциальной и алгебраической подсистемами. Эта структурная форма эквивалентна исходной системе в смысле решений, а оператор, преобразующий систему ДАУ к данной структурной форме, обладает левым обратным. Построение структурной формы носит конструктивный характер и не использует замену переменных, при этом автоматически решается проблема согласования начальных данных. Данный подход использует понятие r-продолженной системы, где r – индекс неразрешенности системы. Необходимым и достаточным условием существования структурной формы является наличие в матрице, описывающей r-продолженную систему неособенного минора порядка n(r+1), где n – размерность системы ДАУ. Исследуется робастная управляемость нестационарных ДАУ с возмущениями, заданными с помощью матричных норм (неструктурированная неопределенность), присутствующими в матрицах при искомой вектор-функции и вектор-функции управления. Задача робастной управляемости заключается в нахождении условий, при которых возмущенная система останется полностью или R-управляемой на некотором отрезке при наличии этого свойства у исходной системы. Построена структурная форма для возмущенной системы ДАУ, на основе анализа которой получены достаточные условия робастной полной и R-управляемости ДАУ индекса неразрешенности 1 и 2.

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1988. 548 с.

2. Треногин В. А. Функциональный анализ. М. : Наука, 1980. 496 с.

3. Brenan K. E., Campbell S. L., Petzold L. R. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations. SIAM, 1996. 269 p.

4. Campbell S. L., Griepentrog E. Solvability of general differential algebraic equations // SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1995. N 16. P. 257–270. https://doi.org/10.1137/0916017

5. Chou J. H., Chen S. H., Fung R. F. Sufficient conditions for the controllability of linear descriptor systems with both time-varying structured and unstructured parameter uncertainties // IMA J. Math. Control Inform. 2001. Vol. 18, N 4. P. 469–477. https://doi.org/10.1093/imamci/18.4.469

6. Chou J. H., Chen S. H., Zhang Q.-L. Robust controllability for linear uncertain descriptor systems // Linear Algebra Appl. 2006. Vol. 414, N 2–3. P. 632–651. https://doi.org/10.1016/j.laa.2005.11.005

7. Dai L. Singular control system // Lecture notes in control and information sciences. Springer-Verlag, 1989. Vol. 118.

8. Lin C., Wang J. L., Soh C.-B. Necessary and sufficient conditions for the controllability of linear interval descriptor systems // Automatica. 1998. Vol. 34, N 3. P. 363–367. https://doi.org/10.1016/S0005-1098(97)00204-5

9. Lin C., Wang J. L. Soh C.-B. Robust C-controllability and/or C-observability for uncertain descriptor systems with interval perturbation in all matrices // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1768–1773. https://doi.org/10.1109/9.788550

10. Robust controllability and robust closed-loop stability with static output feedback for a class of uncertain descriptor systems / C. Lin, J. L. Wang, C.-B. Soh, G. H. Yang // Linear Algebra Appl.1999. Vol. 297, N 1–3. P. 133–155. https://doi.org/10.1016/s0024-3795(99)00150-0

11. Mehrmann V., Stykel T. Descriptor systems: a general mathematical framework for modelling, simulation and control // Automatisierungstechnik. 2006. Vol. 54, N 8. P. 405–415. https://doi.org/10.1524/auto.2006.54.8.405

12. Petrenko P. S. Differential controllability of linear systems of differential-algebraic equations // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2017. Vol. 10, N 3. P. 320–329. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2017-10-3-320-329

13. Petrenko P. S. Local R-observability of differential-algebraic equations // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2016. Vol. 9, N 3. P. 353–363. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2016-9-3-353-363.

14. Shcheglova A. A. Controllability of nonlinear algebraic differential systems // Automation and Remote Control. 2008. Vol. 69, N 10. P. 1700–1722. https://doi.org/10.1134/s0005117908100068

15. Shcheglova A. A. The solvability of the initial problem for a degenerate linear hybrid system with variable coefficients // Russian Mathematics. 2010. Vol. 54, N 9. P. 49–61. https://doi.org/10.3103/S1066369X10090057

16. Shcheglova A. A., Petrenko P. S. Stabilizability of solutions to linear and nonlinear differential-algebraic equations // Journal of Mathematical Sciences. 2014. Vol. 196, N 4. P. 596–615. https://doi.org/10.1007/s10958-014-1679-4

17. Shcheglova A. A., Petrenko P. S. Stabilization of solutions for nonlinear differential-algebraic equations // Automation and remote control. 2015. Vol. 76, N 4. P. 573–588. https://doi.org/10.1134/s0005117915040037

18. Shcheglova A. A., Petrenko P. S. The R-observability and R-controllability of linear differential-algebraic systems // Russian Mathematics. 2012. Vol. 56, N 3. P. 66–82. https://doi.org/10.3103/s1066369x12030097