Рассматривается задача минимизации терминального функционала на траекториях ограниченной вариации импульсной билинейной системы, управляемой неотрицательной векторной борелевской мерой при ограничениях на ее полную вариацию. Эта задача является релаксационным (импульсно-траекторным) расширением соответствующей классической задачи оптимального управления, в которой оптимальное измеримое управление, как правило, не существует. Никаких предположений корректности импульсного расширения не делается, так что каждой допустимой управляющей мере может соответствовать пучок возможных траекторий; индивидуальная траектория этого пучка выделяется с помощью метода разрывной замены времени; этим же методом задача импульсного управления редуцируется к обычной.

Цель статьи состоит в доказательстве нового нелокального необходимого условия оптимальности для импульсных процессов, которое базируется на использовании позиционных управлений спуска по функционалу. Это необходимое условие названо позиционным принципом минимума, оно обобщает соответствующий одноименный критерий для классических задач оптимального управления Позиционный принцип минимума формулируется в рамках конструкций обобщенного принципа максиму- ма для импульсных процессов и является его усилением. Эффективность нового условия иллюстрируется примером.

Дыхта Владимир Александрович, д-р физ.-мат. наук, заведующий лабораторией, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952)453036, e-mail: dykhta@gmail.com

Самсонюк Ольга Николаевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952)453151, e-mail: samsonyuk.olga@gmail.com

1. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. М. : Наука, 1977. 304 с.

2. Дыхта В. А. Слабо монотонные решения неравенства Гамильтона–Якоби и условия оптимальности с позиционными управлениями // Автоматика и телемеханика. 2014. № 5. С. 31–49.

3. Дыхта В. А. Нестандартная двойственность и нелокальные необходимые условия оптимальности в невыпуклых задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2014. № 11. С. 19–37.

4. Дыхта В. А. Вариационные необходимые условия оптимальности с позиционными управлениями спуска в задачах оптимального управления // Докл. Академии наук. 2015. Т. 462, № 6. С. 653–656. https://doi.org/10.7868/S0869565215180048

5. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Оптимальное импульсное управление с прило- жениями. М. : Физматлит, 2003. 256 с.

6. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Неравенства Гамильтона-Якоби и вариационные условия оптимальности. Иркутск : Изд-во Иркут. госуд. ун-та, 2015. 150 с.

7. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М. : Наука, 1991. 256 с.

8. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М. : Наука, 1973. 448 с.

9. Миллер Б. М. Условия оптимальности в задаче управления системой, описываемой дифференциальным уравнением с мерой // Автоматика и телемеханика. 1982. № 6. С. 60–72.

10. Миллер Б. М. Условия оптимальности в задачах обобщенного управления. I, II // Автоматика и телемеханика. 1992. № 3. С. 362–370; № 4. С. 505–513.

11. Миллер Б. М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управления импульсными и дискретно-непрерывными системами // Автоматика и телемеханика. 1993. № 12. С. 3–32.

12. Миллер Б. М., Рубинович Е. Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М. : Наука, 2005. 429 с.

13. Миллер Б. М., Рубинович Е. Я. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представление с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований // Автоматика и телемеханика. 2013. № 12. С. 56–103.

14. Самсонюк О. Н. Монотонность функций типа Ляпунова для импульсных управляемых систем // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2014. Т. 7. С. 104–123.

15. Самсонюк О. Н. Инвариантность множеств относительно нелинейных импульсных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 2015. № 3. С. 44–61.

16. Филиппова Т. Ф. Построение многозначных оценок множеств достижимости некоторых нелинейных динамических систем с импульсным управлением // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 4. С. 262–269.

17. Arutyunov A. V., Karamzin D. Yu., Pereira F. L. On constrained impulsive control problems // J. Math. Sci. 2010. Vol. 165. P. 654–688. https://doi.org/10.1007/s10958-010-9834-z

18. Bressan A., Rampazzo F. Impulsive control systems without commutativity assumptions // Optim. Theory Appl. 1994. Vol. 81, N 3. P. 435–457. https://doi.org/10.1007/BF02193094

19. Nonsmooth analysis and control theory / F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski. New York : Springer-Verlag, 1998. 277 p.

20. Daryin A. N., Kurzhanski A. B. Dynamic programming for impulse control // Ann. Reviews in Control. 2008. Vol. 32. P. 213–227.

21. Dykhta V., Samsonyuk O. Applications of Hamilton-Jacobi inequalities for classical and impulsive optimal control problems // European Journal of Control. 2011. Vol. 17. P. 55–69. https://doi.org/10.3166/EJC.17.55-69

22. Fraga S. L., Pereira F. L. On the feedback control of impulsive dynamic systems // Proceeding of the 47th IEEE Conference on Decision and Control. 2008. P. 2135–2140.

23. Karamzin D. Yu. Necessary conditions of the minimum in impulsive control problems with vector measures // J. of Math. Sci. 2006. Vol. 139. P. 7087–7150. https://doi.org/10.1007/s10958-006-0408-z

24. Miller B. M. The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control // SIAM J. Control Optim. 1996. Vol. 34. P. 1420–1440. https://doi.org/10.1137/S0363012994263214

25. Motta M., Rampazzo F. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls // Differential Integral Equations. 1995. Vol. 8. P. 269–288.

26. Pereira F. L., Silva G. N. Necessary conditions of optimality for vector-valued impulsive control problems // Syst. Control Lett. 2000. Vol. 40. P. 205–215. https://doi.org/10.1016/S0167-6911(00)00027-X

27. Sorokin S., Staritsyn M. Feedback necessary optimality conditions for a class of terminally constrained state-linear variational problems inspired by impulsive control // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2017. Vol. 7, N 2. P. 201–210. https://doi.org/10.3934/naco.2017014

28. Vinter R. B., Pereira F. L. A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories // SIAM J. Control Optim. 1988. Vol. 26, N 1. P. 205–229. https://doi.org/10.1137/0326013