Топологические меры и квазилинейные функционалы являются обобщением мер и линейных функционалов. Дефектные топологические меры, в свою очередь, являются обобщением топологических мер. В этой статье мы продолжаем исследование топологических мер на локально компактных пространствах. На компактном пространстве существующие способы получения топологических мер - это (a) метод, использующий супер-меры, (б) композиция q-функции с топологической мерой и (в) метод с использованием дефектных топологических мер и единичных точек. Эти способы применимы, когда компактное пространство является связным, локально связным, а также имеет определённую топологическую характеристику, которая называется «род», равную 0 (интуитивно, у таких пространств нет дыр). Мы обобщаем известные способы на случай, когда пространство локально компактное, связное, локально связное, и его компактификация Александрова имеет род 0. Mы даём определение супер-мер и q-функций на локально компактном пространстве. Затем мы получаем методы построения новых топологических мер, используя супер-меры, а также композиции q-функций с дефектными топологическими мерами. Мы также обобщаем существующий метод и приводим новый метод с использованием точки и дефектной топологической меры на локально компактном пространстве. Представленные способы позволяют получить большое количество разнообразных конечных и бесконечных топологических мер на таких пространствах, как Rⁿ, полупространства в Rⁿ, открытые шары в Rⁿ, и проколотые замкнутые шары в Rⁿ с индуцированной топологией (где n ≥ 2).

1. Aarnes J.F. Quasi-states and quasi-measures. Adv. Math., 1991, vol. 86, no. 1, pp. 41–67. https://doi.org/10.1016/0001-8708(91)90035-6

2. Aarnes J.F. Pure quasi-states and extremal quasi-measures. Math. Ann., 1993, vol.295, pp. 575–588. https://doi.org/10.1007/BF01444904

3. Aarnes J.F. Construction of non-subadditive measures and discretization of Borel measures. Fundamenta Mathematicae, 1995, vol. 147, pp. 213–237. https://doi.org/10.4064/fm-147-3-213-237

4. Aarnes J.F., Butler S.V. Super-measures and finitely defined topological measures. Acta Math. Hungar., 2003, vol. 99 (1-2), pp. 33–42. https://doi.org/10.1023/A:1024549126938

5. Aarnes J.F., Rustad A.B. Probability and quasi-measures – a new interpretation. Math. Scand., 1999, vol. 85, no. 2, pp. 278–284. https://doi.org/10.7146/math.scand.a-18277

6. Butler S.V. Q-functions and extreme topological measures, J. Math. Anal. Appl., 2005, vol. 307, pp. 465–479. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.01.013

7. Butler S.V. Solid-set functions and topological measures on locally compact spaces, submitted.

8. Butler S.V. Deficient topological measures on locally compact spaces, submitted.

9. Grubb D.J. Irreducible Partitions and the Construction of Quasi-measures. Trans. Amer. Math. Soc., 2001, vol. 353, no. 5, pp. 2059–2072. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02764-7

10. Johansen Ø., Rustad A. Construction and Properties of quasi-linear func- tionals. Trans. Amer. Math. Soc., 2006, vol. 358, no. 6, pp. 2735–2758. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03843-8

11. Knudsen F.F. Topology and the construction of Extreme Quasi-measures. Adv. Math., 1996, vol. 120, no. 2, pp. 302–321. https://doi.org/10.1006/aima.1996.0041

12. Entov M., Polterovich L. Quasi-states and symplectic intersections. ArXiv, 2004.

13. Polterovich L., Rosen D. Function theory on symplectic manifolds. CRM Monograph series, vol. 34, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2014. https://doi.org/10.1090/crmm/034

14. Svistula M.G. A Signed quasi-measure decomposition. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia, 2008, vol. 62, no. 3, pp. 192–207. (In Russian).

15. Svistula M.G. Deficient topological measures and functionals generated by them. Sbornik: Mathematics, 2013, vol. 204, no. 5, pp. 726–761. https://doi.org/10.1070/SM2013v204n05ABEH004318