Данная заметка представляет собой продолжение цикла работ автора по вопросам построения теории обобщенных решений вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и посвящена исследованию разрешимости в классе распределений задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения первого порядка с переменными операторными коэффициентами. Такие задачи, в случае фредгольмовости оператора при производной, сводятся к исследованию систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с ядром общего вида. Использовав, во-первых, полученные ранее результаты о разрешимости таких систем в классе непрерывных функций и, во-вторых, теорию фундаментальных оператор-функций вырожденных дифференциальных операторов в банаховых пространствах, удалось построить обобщенное решение рассматриваемой задачи в классе обобщенных функций с ограниченным слева носителем. Исследована связь полученного обобщенного решения с непрерывным решением этой же задачи. Приведена формула для фундаментальной оператор-функции нестационарного дифференциального оператора первого порядка в регулярном случае.

1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.— 528 c.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970.— 536 c.

3. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A. and Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.— 548 p.

4. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // СМЖ.— 2000.— Т. 41, № 5.— С. 1167–1182.

5. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Вестник Челябинского университета. Сер. 3. Математика. Механика. / Под ред. В.Д. Батухтина.— Челябинск: Изд-во Челяб. ун-та, 1999.— №. 2— С. 126–136.

6. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1979.— 320 c.