Рассматриваются примеры инвариантных или частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса ранга два. Эти решения определяются из одномерных линейных или квазилинейных уравнений диффузии. Построено точное решение, описывающее сглаживание начального разрыва поля скоростей в жидкости, которая в начальный момент имеет равномерную завихренность. Эта задача сводится к линейному уравнению диффузии с коэффициентами, зависящими от времени. Сформулированы теоремы существования и несуществования в целом по времени решения задачи о продольной деформации полосы со свободными границами. В этом случае основное квазилинейное уравнение диффузии оказывается интегро-дифференциальным. Третье решение описывает осесимметричный процесс растекания жидкого слоя на твердой плоскости. Здесь соответствующая задача со свободной границей редуцируется к задаче Коши для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка. Это позволяет доказать ее глобальную разрешимость.

1. Ovsiannikov L. V. Group Analysis of Differential Equations / L. V. Ovsiannikov.– Academic Press. – 1982.

2. Andreev V. K. Application of Group-Theoretic Methods in Hydrodynamics /V. K. Andreev, O. V. Kaptsov, V. V. Pukhnachov, A. A. Rodionov. – KluwerAcademic. – 1998.

3. Pukhnachov V. V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary/ V. V. Pukhnachov // C. R. Acad. Sci. Paris. – 1999. – T. 328, Serie 1. – P.357-362.

4. Galaktionov V. A. Blow-up for a class of solutions with free boundary for theNavier-Stokes equations / V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez // Adv. Diff. Eq. –1999. – T. 4 – P. 297-321.

5. Ladyzhenskaya O. A. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type / O.A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov, N. N. Uraltseva. – AMS. – 1968.

6. Galaktionov V. A. Regularity of interfaces in diffusion processes under theinfluence of strong absorption / V. A. Galaktionov, S. I. Shmarev, J. L. Vazquez// Arch. Ration. Mech. Anal. – 1999. – T. 149. – P. 183-212.