Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Идентификация динамики внешней силы при моделировании колебаний
Рассматривается линейное неоднородное волновое уравнение с начальными и граничными условиями. Предполагается, что неоднородные члены, описывающие в модели внешнюю силу, раскладываются в ряды Фурье равномерно сходящиеся вместе с производными до второго порядка. При этом коэффициенты разложения, зависящие от времени, подлежат определению. С целью однозначного определения искомых коэффициентов вводятся нелокальные граничные условия в соответствии с требуемой в модели усредненной динамикой колебаний. Используемое в работе нелокальное условие дает возможность наблюдать усредненную динамику колебаний. Приведены достаточные условия, когда поставленная задача идентификации имеет единственное классическое решение. Указан способ нахождения решения поставленной задачи сведением к системе интегральных уравнений Вольтерры первого рода, явно построенной в работе. Решение строится в явном виде в общем случае сведением к интегральным уравнениям Вольтерры второго рода с ядрами, допускающими построение резольвенты с помощью преобразования Лапласа. Таким образом, в работе дан способ решения проблемы идентификации в явном аналитическом виде. Приведен иллюстративный пример, демонстрирующий эффективность предложенного подхода. Постановка проблемы идентификации и способ ее решения допускают обобщения и в случае системы неоднородных уравнений колебаний. Изложенные результаты могут быть полезны при постановке и решении некоторых задач в оптимизации граничным управлением процесса колебаний.
1. Верлань А. Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наук. думка, 1978.
2. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Деч. – М. : Физматлит, 1971.
3. Ильин В. А. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Успехи мат. наук, – 2005. – Т. 69, № 6. – С. 89–114.
4. Камынин В.Л. Обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения / В. Л. Камынин // Мат. заметки. – 2013. – Т. 94, № 2. – C. 207–217.
5. Камынин В. Л. Две обратные задачи определения коэффициента в параболическом уравнении / В. Л. Камынин, А. Б. Костин // Дифференц. Уравнения. – 2010. – Т. 46, № 3. – С. 372–383.
6. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А. И. Кожанов // Мат. заметки. – 2004. – Т. 76, № 6. – С. 840–853.
7. Муфтахов И. Р. О роли уравнений Вольтерра в обратной задаче теплопроводности с нелокальным граничным условием / И. Р. Муфтахов, Д. Н. Сидоров, А. И. Дрегля// Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : материалы X Междунар. науч.–техн. конф. мол. специалистов, аспирантов и студентов (Россия, г. Пенза, 23-27 мая 2016 г.) / под ред. И. В. Бойкова. – Пенза : Изд-во НГУ, 2016. – С. 15–19.
8. Муфтахов И. Р. О регуляризации по Лаврентьеву интегральных уравнений первого рода в пространстве непрерывных функций / И. Р. Муфтахов, Д. Н. Сидоров, Н. А. Сидоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2016. – Т. 15. – C. 62—77.
9. Прилепко А. И. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении. I / А. И. Прилепко, А. Б. Костин // Сиб. мат. журн. – 1992. – Т. 33, № 3. – C. 146-–155.
10. Прилепко А. И. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении. II / А. И. Прилепко, А. Б. Костин // Сиб. мат. журн. – 1993. – Т. 34, № 5. – C. 147-–162.
11. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А.Самарский. – М. : Наука, 1977.