Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Анормальность в теории необходимых условий оптимальности
Известные в теории экстремальных задач проблемы существования, не единственности и анормальности решений, возникающие при применении необходимых условий оптимальности, обсуждаются с позиций принципа расширения и общих достаточных условий оптимальности с использованием простых примеров. Показывается, что эти проблемы зачастую порождаются не существом задачи, а применяемым методом решения и могут исчезать при использовании другого метода.
В основе исследования лежит предложенный В. Ф. Кротовым принцип расширения в абстрактной задаче на экстремум, получивший дальнейшее развитие в работах В. И. Гурмана, М. М. Хрусталева и А. И. Москаленко. Особое внимание обращено на явление анормальности, возникающее при применении классической схемы формирования функции Лагранжа как в конечномерных экстремальных задачах, так и в задачах оптимального управления.
В классическом методе Лагранжа для конечномерных задач множители Лагранжа — постоянные числа. В этом случае метод полностью сводит задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум лишь в частном случае оговоренном в теореме Куна – Таккера.
Что касается задач оптимального управления, то в вариационном исчислении и в принципе максимума Понтрягина используется функциональный аналог классических постоянных множителей Лагранжа. В принципе максимума Понтрягина это вектор сопряженных переменных. Проблема анормальности здесь присутствует в полном объеме. Приводится пример класса задач оптимального управления, где любой допустимый процесс является анормальной экстремалью Понтрягина.
Принцип расширения позволяет использовать множители Лагранжа, представляющие собой функции, зависящие от оптимизируемого вектора в конечномерном случае и от состояния системы в задаче оптимального управления. Используя этот принцип, можно получать условия оптимальности, в которых проблема анормальности не возникает.
1. Алексеев В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, C. В. Фомин. – М. : Наука, 1979.
2. Арутюнов A. В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи / А. В. Арутюно. – М. : Факториал, 1997.
3. Блисс Г. А. Лекция по вариационному исчислению / Г. А. Блисс. – М. : ИЛ, 1950.
4. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления / В. И. Гурман. – М. : Физматлит, 1985, 1997.
5. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. I / В. И. Гурман, Ни Минь Кань // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 3. – С. 36–50.
6. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. – М. : Наука, 1974.
7. Кротов В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. – М. : Наука, 1973.
8. Левитин Е. С. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями / Е. С. Левитин, А. А.Милютин, Н. П. Осмоловский // УМН. – 1978. – Т. 33, вып. 6. – С. 85–148.
9. Матросов В. М. Метод сравнения в математической теории систем / В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев. – Новосибирск : Наука, 1980.
10. Москаленко А. И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении / А. И. Москаленко. – Новосибирск : Наука, 1983.
11. Хрусталев М. М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамических систем. Ч. 1. Оценки и точное описание множеств достижимости и управляемости / М. М. Хрусталев // Автоматика и телемеханика. – 1988. – № 5. – С. 62–70.
12. Хрусталев М. М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамических систем. Ч. 2. Условия глобальной оптимальности / М. М. Хрусталев // Автоматика и телемеханика. – 1988. – № 7. – С. 70–80.
13. Хрусталев М. М. О достаточных условиях оптимальности в задачах с ограничениями на фазовые координаты / М. М. Хрусталев // Автоматика и телемеханика. – 1967. – № 4. – С. 18–29.
14. Hestenes M.R. Conjugate Direction Methods in Optimization / M. R. Hestenes. – N. Y. : Springer-Verlag, 1980.
15. Montgomery R. Abnormal Minimizers / R. Montgomery // SIAM J. Control and Optimiz. – 1994. – Vol. 32, N 6. – P. 1605–1620.