Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Оптимизация приближённого метода решения линейных краевых задач интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональными запаздываниями
В данной статье исследуется возможность приближённого решения разрешающих уравнений для краевых задач линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональными запаздываниями. Эти разрешающие уравнения получены с помощью новой формы функции гибкой структуры выведенной с учётом краевых условий и начальных функций. С помощью этой формы было показано, что все линейные краевые задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа преобразуются к интегральным уравнениям смешанного типа Вольтерра – Фредгольма с обыкновенным аргументом. К разрешающим уравнениям такого же вида преобразуются и краевые задачи некоторых видов уравнений нейтрального и опережающего типов.
Далее встаёт вопрос решения полученных разрешающих уравнений. Так как в полученные формулы функций и ядер разрешающих интегральных уравнений входят неопределённые вначале решения краевой задачи параметры, то за счёт их оптимального выбора можно пытаться искать точное решение, если же это затруднительно или невозможно, то приближённое решение. Приближённое решение разрешающих интегральных уравнений смешанного типа Вольтерра – Фредгольма с обыкновенным аргументом в работе получено методом последовательных приближений. При его реализации, как и при применении других методов, за счёт оптимального выбора параметров можно сокращать объём выкладок и ускорять процесс сходимости метода. Для приближённых решений разрешающих уравнений получены формулы вычисления погрешности, а используя их и формулы вычисления погрешности первоначально поставленных краевых задач. Рассмотрен и возможный вариант решения в случае, когда за счёт выбора параметров можно сделать все ядра под интегралами с постоянными пределами интегрирования тождественно равными нулю. Приведённый пример подпадает под этот вариант решения. Для такого варианта решения также получены формулы оценки погрешностей разрешающих уравнений и первоначально поставленных краевых задач.
1. Громова П. С. Некоторые вопросы качественной теории интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / П. С. Громова // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Т. 5. – М., 1967. – С. 61–76.
2. Куликов Н. К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой / Н. К. Куликов // Тематический сборник МТИПП. – М., 1974. – С. 47-57.
3. Шишкин Г. А. Краевая задача одного вида интегродифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа / Г. А. Шишкин // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Математика, информатика. – 2014. – Вып. 2. – С. 67-70.
4. Шишкин Г. А. Краевые задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа / Г. А. Шишкин // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Математика, информатика. – 2014. – Вып. 9(2). – С. 85-88.
5. Шишкин Г. А. Краевые задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным аргументом опережающего типа / Г. А. Шишкин // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Математика, информатика. – 2015. – Вып. 9. – С. 23-26.
6. Шишкин Г. А. Исследование и решение задачи Коши для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерры с с функциональным запаздыванием / Г. А. Шишкин // Дифференц. уравнения. – 2011. – Т. 47, № 10, С. 1508–1512.
7. Шишкин Г. А. Функция гибкой структуры и её модификация при решении краевых задач для уравнений с функциональным запаздыванием / Г. А.Шишкин // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Математика, информатика. – 2013. – Вып. 9. – С. 144-147.